逍遥右脑 2014-04-28 11:07
河北省廊坊市大城县2012-2013学年八年级（下）期末
数学试卷
一、（共10小题，每小题2分，满分20分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的）
1．（2分）已知反比例函数的图象经过点（1，2），则此函数图象所在的象限是（ ）
A．一、三B．二、四C．一、三D．三、四
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．.
分析：根据反比例函数图象的性质先求出k的取值范围，再确定图象所在的象限．
解答：解：由反比例函数y= 的图象经过点（1，2），
可得k=2＞0，则它的图象在一、三象限．
故选A．
点评：此题主要考查反比例函数y= 的图象性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限．（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．
2．（2分）在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≠0C．x＞1D．x≠1
考点：函数自变量的取值范围．.
分析：根据分母不等于0列式计算即可得解．
解答：解：根据题意得，x≠0．
故选B．
点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．（2分）（2011•张家界）顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理．.
分析：顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．
解答：解：根据三角形中位线定理，可知边连接后的四边形的两组对边相等，再根据平行四边形的判定可知，四边形为平行四边形．故选A．
点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
4．（2分）技术员小张为考察某种小麦长势整齐的情况，从中抽取了20株麦苗，并分别测量了苗高，则小张最需要知道这些麦苗高的（ ）
A．平均数B．方差C．中位数D．众数
考点：统计量的选择；方差．.
分析：根据平均数、方差、中位数及众数的定义求解．
解答：解：∵为考察某种小麦长势整齐的情况，
∴应该需要知道这些麦苗的方差，
故选B．
点评：本题考查了统计量的选择及平均数、方差、中位数及众数的定义，方差能反映一组数据的稳定情况，方差越大，越不稳定．
5．（2分）（2007•长沙）下列说法正确的是（ ）
A．有两个角为直角的四边形是矩形B．矩形的对角线互相垂直
C．等腰梯形的对角线相等D．对角线互相垂直的四边形是菱形
考点：等腰梯形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质．.
分析：根据平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质逐一判断即可得到答案．
解答：解：A、直角梯形有两个角为直角，就不是矩形；
B、矩形的对角线互相平分而不一定垂直；
C、正确；
D、对角线互相垂直的平行的四边形是菱形．
故选C．
点评：根据平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质解答．
6．（2分）下列从左到右的变形过程中，等式成立的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
考点：分式的基本性质．.
分析：根据分式的基本性质分别对每一项进行分析即可．
解答：解：A、 = ，故本选项正确；
B、 = ，故本选项错误；
C、 = ，（c≠0），故本选项错误；
D、 = ，（x≠0），故本选项错误；
故选A．
点评：此题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个部位0的数或式子，分式的值不变．
7．（2分）某班学生理化生实验操作测试成绩的统计结果如下表：
成绩/分345678910
人数112211131512
则这些学生成绩的众数值等于（ ）
A．15B．10C．13D．9
考点：众数．.
分析：根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，求解即可．
解答：解：这组数据出现次数最多的为：9，
故众数为9．
故选D．
点评：本题考查了众数的定义，解答本题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
8．（2分）一项市政工程，需运送土石方106米3，某运输公司承办了这项运送土石方的工程，则运送公司平均每天的工作量y（米3/天）与完成运送任务所需时间x（天）之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象．.
分析：首先根据题意列出两个变量之间的函数关系，然后根据函数关系式确定函数的图象．
解答：解：∵xy=106米3，
∴y= （x＞0，y＞0）
∴函数是反比例函数且其图象位于第一象限，
故选A．
点评：本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，正确的列出反比例函数的解析式是解决本题的关键．
9．（2分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，AE=6c，且∠B=60°．则下列说法中错误的是（ ）
A．△ABE是等边三角形B．四边形AECD是菱形
C．E不一定为BC的中点D．CD的长必为6c
考点：等腰梯形的性质．.
分析：根据等腰梯形的性质可以得到△ABE是等边三角形，而四边形AECD是平行四边形，然后根据菱形的定义，即可作出判断．
解答：解：∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形．
∴AE=CD，
∵AB=CD，
∴AB=AE=CD=6，故D正确．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形．故A正确；
E不一定为BC的中点正确，
则AE=EC不一定成立，故C正确，B错误．
故选B．
点评：本题考查了等腰梯形的性质以及平行四边形、等边三角形的判定定理，理解△ABE是等边三角形是关键．
10．（2分）矩形纸片ABCD的边长AB=8，AD=4，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在某一面着色（如图），则着色部分的面积为（ ）
A．16B． C．22D．8
考点：翻折变换（折叠问题）．.
分析：根据折叠的性质可知着色部分的面积等于S矩形ABCD?S△CEF，应先利用勾股定理求得FC的长，进而求得△CEF的面积，代入求值即可．
解答：解：由折叠的性质可得：CG=AD=4，GF=DF=CD?CF，∠G=90°，
则△CFG为直角三角形，
在Rt△CFG中，FC2?CG2=FG2，
即FC2?42=（8?FC）2，
解得：FC=5，
∴S△CEF= FC•AD= ×5×4=10，
则着色部分的面积为：S矩形ABCD?S△CEF=AB•AD?10=8×4?10=22．
故选C．
点评：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，由折叠得到相等的边，相等的角，并利用勾股定理求解，要求同学们熟练掌握矩形和三角形的面积公式以及图形面积的转换．
二、题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）计算30= 1 ．
考点：零指数幂．.
分析：根据零指数幂：a0=1（a≠0）进行运算即可．
解答：解：30=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了零指数幂的运算，掌握零指数幂的运算法则是关键．
12．（3分）当x= 0 时，分式 的值是零．
考点：分式的值为零的条件．.
专题：．
分析：根据分式的值为零的条件得到x=0且x+2≠0，易得x=0．
解答：解：∵分式 的值是零，
∴x=0且x+2≠0，
∴x=0．
故答案为0．
点评：本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分子为零并且分母不为零时，分式的值为零．
13．（3分）如图是某电器商场五月份对甲、乙、丙三种品牌空调销售量所做的统计图，则所销售的甲种品牌空调数占总销售量的百分数为 45% ．
考点：条形统计图．.
分析：用甲种品牌空调除以三种品牌的电脑的台数的和即可求得其占总销售量的百分数；
解答：解：观察条形统计图知甲品牌电脑销售45台，乙品牌销售25台，丙品牌电脑销售30台，
故甲种品牌空调数占总销售量的百分数为 ×100%=45%，
故答案为：45%
点评：本题考查了条形统计图，能根据条形统计图得到各种品牌电脑的销售量是解决本题的关键．
14．（3分）（2008•巴中）如图，将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B′，C′在同一直线上，则∠AEF= 90 度．
考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．.
分析：利用翻折和平角定义易得组成∠AEF的两个角的和等于平角的一半，也就求得了所求角的度数．
解答：解：根据沿直线折叠的特点，△ABE≌△AB′E，△CEF≌△C′EF，
∴∠AEB=∠AEB′，∠CEF=∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF=180°，
∴∠AEB′+∠C′EF=90°，
∵点E，B′，C′在同一直线上，
∴∠AEF=90度．
故答案为90．
点评：已知折叠问题就是已知图形的全等，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
15．（3分）如图，是由四个直角边分别为3和4全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，那么阴影部分面积为 1 ．
考点：勾股定理的证明．.
分析：求出阴影部分的正方形的边长，即可得到面积．
解答：解：∵四个全等的直角三角形的直角边分别是3和4，
∴阴影部分的正方形的边长为4?3=1，
∴阴影部分面积为1×1=1．
故答案为1．
点评：本题考查了“赵爽弦图”，正方形的面积，熟悉“赵爽弦图”中小正方形的边长等于四个全等的直角三角形中两直角边的差是解题的关键．
16．（3分）矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，若AB=5c，则BD= 10c ．
考点：矩形的性质；含30度角的直角三角形．.
分析：根据矩形性质得出AO=BO，BD=2BO，得出等边三角形AOB，推出AB=BO=5c，即可得出答案．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴BO=OA=AB=5c，
∴BD=2BO=10c，
故答案为：10c．
点评：本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分．
17．（3分）小强欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1000牛顿和0.5米，则当动力臂为1米时，撬动石头至少需要的力为 500 牛顿．
考点：反比例函数的应用．.
分析：根据杠杆平衡条件F1L1=F2L2、代入有关数据即可．
解答：解：由杠杆平衡条件可知：
F1L1=F2L2，
即：F1×1=100N×0.5，
F1=500N
答案为：500．
点评：本题考查学生对杠杆平衡条件的理解和灵活运用，属于基础题目．
18．（3分）我市某中学开展了以“热爱家乡，与环境友好；牵手幸福，与健康同行”为主题的远足训练活动，师生到距学校18千米的森林公园并沿途捡拾垃圾，李老师因有事晚出发2个小时，为追赶师生队伍李老师骑自行车走近路比师生队伍少走了6千米，结果早到达48分钟，已知李老师骑自行车的平均速度是师生步行平均速度的3倍，设师生步行的平均速度为x千米/时，则根据题意可列出方程为： = +2+ ．（直接用方程中的数据，不必化简）
考点：由实际问题抽象出分式方程．.
分析：设师生步行的平均速度为x千米/时，则李老师骑自行车的平均速度是3x千米/时，根据“李老师因有事晚出发2个小时，为追赶师生队伍李老师骑自行车走近路比师生队伍少走了6千米，结果早到达48分钟”得出等量关系：师生步行18千米的时间=李老师骑自行车12千米的时间+2小时+48分钟，据此列出方程即可．
解答：解：设师生步行的平均速度为x千米/时，则李老师骑自行车的平均速度是3x千米/时．
由题意， = +2+ ．
故答案为 = +2+ ．
点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：时间=路程÷速度．
三、解答题（共8小题，满分76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算： ? ．
考点：分式的加减法．.
专题：．
分析：原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
解答：解：原式= = = ．
点评：此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
20．（8分）解分式方程： ．
考点：解分式方程．.
分析：观察可得最简公分母是x（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答：解：方程的两边同乘x（x+2），得：3（x+2）=5x，
解得：x=3．
检验：把x=3代入x（x+2）=15≠0．
故原方程的解为：x=3．
点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意分式方程需检验．
21．（8分）如图，已知E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且AE= AD，CF= BC．求证：四边形AECF是平行四边形．
考点：平行四边形的判定与性质．.
专题：证明题．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，进而得到AE=CF，又因为AE∥FC，所以四边形AECF是平行四边形．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC即AE∥FC，AD=BC，
又AE= AD，CF= BC，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
22．（8分）某公司员工工资情况统计表如下：
月工资/元50004000200015001000700
员工人数2482087
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）已知该公司员工工资的平均数1800元，其中位数为 1500 元，众数为 1500 元；
（2）该公司在宣传材料中称，该公司员工工资平均待遇是较高的，你认为宣传材料中所说公司员工工资平均待遇是平均数、中位数、众数中的哪一个数？
（3）补全反应公公司员工工资情况的条形统计图．
考点：条形统计图；加权平均数；中位数；众数．.
分析：（1）利用中位数及众数的定义求解即可；
（2）比较平均数、中位数及众数后即可得到答案；
（3）根据每个档次的员工的人数补全条形统计图即可．
解答：解：（1）该公司共有49人，中位数应该是排序后第25人的工资数，
∵第25人的工资数是1500，
∴中位数为1500元；
∵1500元出现了20次，最多，
∴众数为1500元；
（2）∵平均数、众数和中位数三个统计量中平均数最高，
∴宣传材料中所说公司员工工资平均待遇是平均数、中位数、众数中的平均数；
（3）补全统计图为：
点评：本题考查了统计图及有关统计量的知识，解题的关键是结合学生熟悉的现实生活中实际问题进行定量（计算统计量）和定性（估计、判断和预测）分析，用以考查同学们对统计基本思想的理解和用数学的意识．
23．（10分）已知反比列函数y= 的图象在每一条曲线上，y都随x的增大而增大，
（1）求k的取值范围；
（2）在曲线上取一点A，分别向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为O，若四边形ABOC面积为12，求此函数的解析式．
考点：反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义．.
分析：（1）直接根据反比例函数的性质求解即可，k＜0；
（2）直接根据k的几何意义可知：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k，所以k=12，而k＜0，则k=?12．
解答：解：（1）∵反比列函数y= 的图象在每一条曲线上，y都随x的增大而增大，
∴k＜0；
（2）设A（x，y），由已知得，xy=k=12，
∵k＜0，
∴k=?12，
所以，反比例函数的解析式为y=? ．
点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
24．（10分）（2010•路南区三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
请按要求完成下列各题：
（1）画AD∥BC（D为格点），连接CD；
（2）试判断△ABC的形状？请说明理由；
（3）若E为BC中点，F为AD中点．四边形AECF是什么特殊的四边形？请说明理由．
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；作图―基本作图．.
分析：（1）把BC看成左下角的直角三角形斜边，作一个直角三角形与这个三角形全等，使A与B对应，D与C对应，则AD∥BC；
（2）分别计算三边长度，根据勾股定理的逆定理判断；
（3）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证明四边相等判断是菱形．
解答：解：（1）如图，AD为所求作的平行线；
（2）△ABC是直角三角形．
∵AB2=12+22=5；AC2=22+42=20；BC2=32+42=25，
∴BC2=AB2+AC2，
∴△ABC为直角三角形；
（3）四边形AECF为菱形．
由作法知BC平行且对于AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴△ACD为直角三角形．
∵F是AD的中点，
∴CF=AF=2.5．
又∵E是BC中点，
∴AE=EC=2.5．
∴AE=EC=CF=AF．
∴四边形AECF是菱形．
点评：此题考查直角三角形的判定和性质、特殊四边形的判定及作图能力，综合性较强．
25．（12分）上海世博会开馆前，某礼品经销商预测甲、乙两种礼品能够畅销，用16500元购进了甲种礼品，用44000元购进了乙种礼品，由于乙种礼品的单价是甲种礼品单价的4倍，实际购得甲种礼品的数量比乙种礼品的数量多100个．
（1）求购进甲、乙两种礼品的单价各多少元？
（2）如果要求每件商品在销售时的利润为20%，那么甲、乙两种礼品每件的售价各是多少元？
（3）在（2）的条件下，如果甲种礼品的进价降低了，但售价保持不变，从而使销售甲种礼品的利润率提高了5%，那么此时每个甲种礼品的进价是多少元？（直接写出结果）（利润=售价?进价，利润率= ×100%．）
考点：分式方程的应用．.
分析：（1）根据购买两种礼品的总钱数以及单价之间的关系，结合购买数量得出等式求出即可；
（2）利用（1）中所求的进价，利用利润=售价?进价，求出即可；
（3）根据已知得出甲种礼品的利润为25%，进而假设出进价得出等式求出即可．
解答：解：（1）设购进甲种礼品的单价为x元，则购进乙种礼品的单价为4x元，
由题意得： ? =100，
解这个方程，得：x=55，
经检验，x=55是所列方程的根．4x=220．
所以购进甲、乙两种礼品的单价分别为55元和220元．
（2）∵55×20%=11，220×20%=44，
∴55+11=66（元），220+44=264（元），
所以甲、乙两种礼品的售价分别为66元和264元．
（3）设每个甲种礼品的进价是x元，根据题意得出：
x（1+25%）=66，
解得：x=52.8，
答：此时每个甲种礼品的进价是52.8元．
点评：此题主要考查了分式方程的应用以及利润率的求法，根据已知得出进价与售价关系是解题关键．
26．（12分）如图，在某小区的休闲广场有一个正方形花园ABCD，为了便于观赏，要在AD、BC之间修一条小路，在AB、DC之间修另一条小路，使这两条小路等长．设计师给出了以下几种设计方案：
①如图1，E是AD上一点，过A作BE的垂线，交BE于点O，交CD于点H，则线段AH、BE为等长的小路；
②如图2，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，则线段GH、BE为等长的小路；
③如图3，过正方形ABCD内任意一点O作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，则线段GH、EF为等长的小路；
根据以上设计方案，解答下列问题：
（1）你认为以上三种设计方案都符合要求吗？
（2）要根据图1完成证明，需要证明△ ABE ≌△ DAH ，进而得到线段 BE = AH ；
（3）如图4，在正方形ABCD外面已经有一条夹在直线AD、BC之间长为EF的小路，想在直线AB、DC之间修一条和EF等长的小路，并且使这条小路的延长线过EF上的点O，请画草图（加以论述），并给出详细的证明．
考点：四边形综合题．.
分析：（1）通过证明三角形全等，由全等三角形的对应边相等可以判断以上三种设计方案都符合要求；
（2）在图1中，先由正方形的性质得出∠BAE=∠ADH=90°，AB=AD，根据同角的余角相等得出∠ABE=∠DAH，再利用ASA证明△ABE≌△DAH，进而由全等三角形的对应边相等即可得出BE=AH；
（3）先过点O作EF的垂线，分别交AB、DC的延长线于点G、H，则线段GH、EF为等长的小路．再进行证明：过点H作HN⊥AB交AB的延长线于点P，过点E作EP⊥BC交BC的延长线于点P，利用AAS证明△GHN≌△FEP，即可得出GH=EF．
解答：解：（1）以上三种设计方案都符合要求；
（2）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADH=90°，AB=AD，
又∵BE⊥AH，
∴∠ABE=∠DAH=90°?∠BAH．
在△ABE与△DAH中，
，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴BE=AH；
（3）如图，过点O作EF的垂线，分别交AB、DC的延长线于点G、H，则线段GH为所求小路．理由如下：
过点H作HN⊥AG于N，过点E作EP⊥BC交BC的延长线于点P，则∠GNH=∠FPE=90°．
∵AB∥CD，HN⊥AB，CB⊥AB，
∴NH=BC，
同理，EP=DC．
∵BC=DC，∴NH=EP．
∵GO⊥EF，∴∠FO+∠FO=90°，
∵∠BG+∠GB=90°，∠FO=∠GB，
∴∠BG=∠FO．
在△GHN与△FEP中，
，
∴△GHN≌△FEP（AAS），
∴GH=EF．
故答案为：ABE，DAH，BE，AH．
点评：本题考查了数学知识在实际生活中的应用，其中涉及到正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，难度不大．体现了数学知识于生活，并且为生活服务，能够激发同学们学习数学的热情．