逍遥右脑 2014-04-15 13:00
四川省泸州市泸县五镇2012-2013学年八年级（上）期中联考
数学试卷
参考答案与试题解析
一、：（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2009•荆门）?9的平方根是（ ）
A．81B．±3C．3D．?3
考点：平方根；绝对值．.
分析：先化简绝对值，再利用平方根的定义求出即可解决问题．
解答：解：∵?9=9，
∴?9的平方根是±3．
故选B．
点评：本题主要考查了平方根概念的运用．本题要注意的是?9=9，即求?9的平方根就是求9的平方根．
2．（3分）下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
考点：立方根；算术平方根．.
分析：根据算术平方根的定义对A、B进行判断；根据立方根的定义对C、D进行判断．
解答：解：A、 = =2，所以A选项错误；
B、 =5，所以B选项错误；
C、 =? ，所以C选项错误；
D、 =?8，所以D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了立方根的定义：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作 ．也考查了算术平方根．
3．（3分）（2010•鄂尔多斯）如图，数轴上的点P表示的数可能是（ ）
A． B．? C．?3.8D．?
考点：估算无理数的大小；实数与数轴．.
分析：A、B、C、D根据数轴所表示的数在?2和?3之间，然后结合选择项分析即可求解．
解答：解：A、 为正数，不符合题意，故选项错误；
B、∵? ＜? ＜? ，∴? 符合题意，故选项正确；
C、?3.8在?3的左边，不符合题意，故选项错误；
D、? ＜? ，那么? 在?3的左边，不符合题意，故选项错误；
故选B．
点评：此题主要考查了利用数轴估算无理数的大小，解决本题的关键是得到所求的点的大致的有理数的范围．
4．（3分）（2009•鸡西）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于 CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
考点：全等三角形的判定．.
专题：作图题；压轴题．
分析：认真作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．
解答：解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；
以点C，D为圆心，以大于 CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
OP公共．
故得△OCP≌△ODP的根据是SSS．
故选D．
点评：考查了三边对应相等的两个三角形全等（SSS）这一判定定理．做题时从作法中找有用的已知条件是正确解答本题的关键．
5．（3分）如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
考点：平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．.
专题：．
分析：过D作DG⊥AC于G，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEG=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DG的长度是4，又DE∥AB，所以∠BAD=∠ADE，所以AD是∠BAC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，得DF=DG．
解答：解：如图，∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DEG=∠DAE+∠ADE=15°+15°=30°，
DE=AE=8，
过D作DG⊥AC于G，
则DG= DE= ×8=4，
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴DF=DG=4．
故选B．
点评：本题主要考查三角形的外角性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
6．（3分）若 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x≥0D．x为任何实数
考点：二次根式有意义的条件．.
分析：根据二次根式有意义的条件可得x?2≥0，再解不等式即可．
解答：解：由题意得：x?2≥0，
解得：x≥2，
故选：B．
点评：此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
7．（3分）（2011•广安）下列几何图形：①角；②平行四边形；③扇形；④正方形，其中轴对称图形是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
考点：轴对称图形．.
专题：．
分析：根据轴对称图形的定义及性质，对四个几何图形分别判断，可得出正确选项．
解答：解：①角是轴对称图形，其对称轴是角的平分线所在的直线；
②平行四边形不是轴对称图形；
③扇形是轴对称图形，过圆心和弧中点的直线是其对称轴；
④正方形是轴对称图形，过对边中点或对角线的直线是其对称轴．
故选C．
点评：本题考查了轴对称图形，掌握轴对称的定义及性质，能够熟练且正确的找出常见图形的对称轴．
8．（3分）下列说法中不正确的是（ ）
A．有一腰长相等的两个等腰三角形全等
B．有一边对应相等的两个等边三角形全等
C．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等
D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
考点：全等三角形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．.
专题：推理题．
分析：A、根据已知能得出AB=DE，AC=DF，不能判断两三角形全等；B、根据等边三角形性质和SSS能推出两三角形全等；根据HL能推出两三角形全等，即可判断C；根据等腰直角三角形性质推出∠A=∠D，根据AAS判断即可．
解答：解：A、
AB=DE，AB=AC，DF=DE，
∴AB=DE，AC=DF，但是找不出第三个相等的条件，即两三角形不全等，故本选项正确；
B、∵AB=AC=BC，DE=DF=EF，AB=DE，
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，
∴△ABC和△DEF全等，故本选项错误；
C、根据HL推出两直角三角形全等，故本选项错误；
D、
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
同理∠D=45°，
即∠A=∠D，∠C=∠E=90°，AB=DF，
∴△ACB≌△DEF（AAS），故本选项错误；
故选A．
点评：本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形性质，等边三角形性质等知识点的应用，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，是一道比较容易出错的题目．
9．（3分）在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．.
分析：根据在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
解答：解：若在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，
则可以过点A作关于y轴的对称点，再连接B和作出的对称点连线和y轴的交点即为所求，
由给出的四个选项可知选项C满足条件．
故选C．
点评：本题考查了轴对称?最短路线问题，在一条直线上找一点使它到直线同旁的两个点的距离之和最小，所找的点应是其中已知一点关于这条直线的对称点与已知另一点的交点．
10．（3分）点P（1，2）关于y轴对称点的坐标是（ ）
A．（?1，2）B．（1，?2）C．（1，2）D．（?1，?2）
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．.
分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（?x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数；这样就可以求出A的对称点的坐标，从而可以确定所在象限．
解答：解：∵点P（1，2）关于y轴对称，
∴点P（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（?1，2）．
故选A．
点评：本题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．
二、题：（每小题3分，共18分）
11．（3分） 的相反数为 ? ．化简 = ? ．
考点：实数的性质．.
分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答；
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
解答：解： ? 的相反数是 ? ；
? = ? ．
故答案为： ? ； ? ．
点评：本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义与绝对值的性质，熟记概念与性质是解题的关键．
12．（3分）已知 ，则a?b的立方根是 ?1 ．
考点：立方根；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．.
分析：根据已知得出方程a?1=0，b?2=0，求出a b的值，即可求出答案．
解答：解：∵ ，
∴a?1=0，b?2=0，
a=1，b=2，
∴a?b=?1，
∴a?b的立方根是?1，
故答案为：?1．
点评：本题考查了算术平方根，偶次方，立方根的应用，关键是求出a b的值．
13．（3分）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为 60或120 °．
考点：等腰三角形的性质．.
分析：等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
解答：解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．
故答案为：60或120．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
14．（3分）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，AD与CE交于F，且BD=AE．则∠DFC= 60 度．
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．.
专题：探究型．
分析：因为△ABC为等边三角形，所以∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC，根据SAS易证△ABD≌△CAE，则∠BAD=∠ACE，再根据三角形内角和定理求得∠DFC的度数．
解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴AB=BC=AC．
在△ABD和△CAE中，
∵BD=AE，∠ABD=∠CAE，AB=AC，
∴△ABD≌△CAE，
∴∠BAD=∠ACE，
又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，
∴∠ACE+∠DAC=60°，
∵∠ACE+∠DAC+∠AFC=180°，
∴∠AFC=120°，
∵∠AFC+∠DFC=180°，
∴∠DFC=60°．
故答案为：60．
点评：本题考查了全等三角形的判定、等边三角形性质、三角形内角和定理及外角的性质，综合性强，考查学生综合运用数学知识的能力．
15．（3分）如下图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC的垂直平分线N交AB、AC于点、N．则△BC的周长为 14 ．
考点：线段垂直平分线的性质．.
分析：根据线段垂直平分线的性质，得A=C，则△BC的周长即为AB+BC的值．
解答：解：∵AC的垂直平分线N交AB、AC于点、N，
∴A=C．
∴△BC的周长=BC+B+C=BC+AB=14．
点评：此题主要是线段垂直平分线的性质的运用．
16．（3分）（2012•武鸣县一模）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 ）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则P4?P3= ；Pn?Pn?1= ．
考点：等边三角形的性质．.
专题：；压轴题；规律型．
分析：根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P1，P2，P3，P4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
解答：解：P1=1+1+1=3，
P2=1+1+ = ，
P3=1+1+ ×3= ，
P4=1+1+ ×2+ ×3= ，
…
∴p3?p2= ? = = ；
P4?P3= ? = = ，
则Pn?Pn?1= ，
故答案为： ，
点评：本题主要考查对等边三角形的性质的理解和掌握，此题是一个规律型的题目，题型较好．
三．解答题
17．（7分）已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD=CB，∠B=∠D，AD∥BC．
求证：AE=CF．
考点：全等三角形的判定与性质．.
专题：证明题．
分析：根据全等三角形的判定定理SAS推知△ADF≌△CBE；然后由全等三角形的对应边相等知，AF=CE，所以AF?EF=CE?EF，即AE=CF．
解答：证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）；
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE （ASA），
∴AF=CE（全等三角形的对应边相等），
∴AF?EF=CE?EF，即AE=CF．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质．普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．做题时要根据已知条件的具体位置来选择方法．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，A（?1，5）、B（?1，0）、C（?4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
考点：作图-轴对称变换．.
专题：作图题．
分析：（1）利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）观察图形即可得出点A1、B1、C1的坐标．
解答：解：（1）所作图形如下所示：
（2）点A1、B1、C1的坐标分别为：（1，5），（1，0），（4，3）．
点评：本题考查了轴对称变换作图，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
19．（8分）如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．.
分析：由已知条件，先证明△ABE≌△CAD得∠BPQ=60°，可得BP=2PQ=6，AD=BE．则易求．
解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°?60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．
点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30°的角的直角三角形的性质；巧妙借助三角形全等和直角三角形中30°的性质求解是正确解答本题的关键．
20．（5分）若x，y都是实数，且满足y＜ ，化简： ．
考点：二次根式有意义的条件．.
专题：计算题．
分析：要化简，先确定题中各式在实数范围内有意义，应把握好以下几点：一是分母不能为零；二是二次根号下为非负数．
解答：解：依题意，有 ，得x=1，此时y＜ ，
所以1?y＞ ＞0，
所以 =?1．
点评：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数．
21．（5分）设2+ 的小数部分是a，求a（a+2）的值．
考点：估算无理数的大小．.
分析：求出2+ 的范围，即可求出a的值，代入求出即可．
解答：解：∵1＜ ＜2，
∴2+1＜2+ ＜2+1，
∴3＜2+ ＜4，
∴a=2+ ?3= ?1，
∴a（a+2）
=（ ?1）×（ ?1+2）
=（ ?1）×（ +1）
=3?1
=2．
点评：本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值的应用，关键是求出a的值．
22．（8分）已知：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC．
（1）如图1，当A（0，?2），C（1，0），点B在第四象限时，则点B的坐标为 （3，?1）， ；
（2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断 与 哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论．
考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形．.
分析：（1）过B作BE⊥x轴于E，推出∠2=∠OAC，∠AOC=∠BEC，根据AAS证△AOC≌△CEB，推出OA=CE，OC=BE，根据A、C的坐标即可求出答案；
（2）作BE⊥x轴于E，得出矩形OEBD，推出BD=OE，证△CEB≌△AOC，推出AO=CE，求出OC?BD=OA，代入求出即可．
解答：（1）解：过B作BE⊥x轴于E，
则∠BEC=∠ACB=∠AOC=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠1+∠OAC=90°，
∴∠2=∠OAC，
在△AOC和△CEB中
∵ ，
∴△AOC≌△CEB（AAS），
∴OA=CE，OC=BE，
∵A（0，?2），C（1，0），
∴OA=CE=2，OC=BE=1，
∴OE=1+2=3，
∴点B的坐标为（ 3，?1 ）；
（2）结论： ，
证明：作BE⊥x轴于E，
∴∠1=90°=∠2，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠5+∠3=90°，
∴∠5=∠4，
在△CEB和△AOC中，
∵
∴△CEB≌△AOC，
∴AO=CE，
∵BE⊥x轴于E，
∴BE∥y轴，
∵BD⊥y轴于点D，EO⊥y轴于点O，
∴BD∥OE，
∴四边形OEBD是矩形，
∴EO=BD，
∴OC?BD=OC?EO=CE=AO，
∴ ．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质，主要考查学生运用定理进行推理和计算，题目比较好．
23．（12分）（2010•无锡）（1）如图1，在正方形ABCD中，是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AN=90°，求证：A=N．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=C，连接E．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NC=180°?∠AN?∠AB=180°?∠B?∠AB=∠AB=∠AE．
（下面请你完成余下的证明过程）
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AN=60°时，结论A=N是否还成立？请说明理由．
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AN= 时，结论A=N仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．.
专题：证明题．
分析：（1）要证明A=N，可证A与N所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=C，连接E，利用ASA即可证明△AE≌△CN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出A=N．
（2）同（1），要证明A=N，可证A与N所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=C，连接E，利用ASA即可证明△AE≌△CN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出A=N．
（3）由（1）（2）可知，∠AN等于它所在的正多边形的一个内角即等于 时，结论A=N仍然成立．
解答：（1）证明：在边AB上截取AE=C，连接E．
正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NC=180°?∠AN?∠AB=180°?∠B?∠AB=∠AB=∠AE，
BE=AB?AE=BC?C=B，
∴∠BE=45°，∴∠AE=135°．
∵N是∠DCP的平分线上一点，
∴∠NCP=45°，∴∠CN=135°．
在△AE与△CN中，∠AE=∠NC，AE=C，∠AE=∠CN，
∴△AE≌△CN（ASA），
∴A=N．
（2）解：结论A=N还成立
证明：在边AB上截取AE=C，连接E．
在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．
∴∠NC=180°?∠AN?∠AB=180°?∠B?∠AB=∠AB=∠AE，
BE=AB?AE=BC?C=B，
∴∠BE=60°，∴∠AE=120°．
∵N是∠ACP的平分线上一点，
∴∠ACN=60°，∴∠CN=120°．
在△AE与△CN中，∠AE=∠NC，AE=C，∠AE=∠CN，
∴△AE≌△CN（ASA），
∴A=N．
（3）解：若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，则当∠AN= 时，结论A=N仍然成立．
点评：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力．难度较大．