组合

1.3组合
（第一课时）

目标：
1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；
2.能正确认识组合与排列的联系与区别
重点：
理解组合的意义，掌握组合数的计算公式
教学过程
一、复习引入：
1．排列的概念：
从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
2．排列数的定义：
从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取出 元素的排列数，用符号 表示
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从 个不同元素中，任取 个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数，是一个数 所以符号 只表示排列数，而不表示具体的排列
3．排列数公式及其推导：
（ ）
全排列数： （叫做n的阶乘）
二、讲解新课：
1 组合的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数．用符号 表示．
3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 ，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数 ；② 求每一个组合中m个元素全排列数 ，根据分步计数原理得： ＝ ．
（2）组合数的公式：
或
例子：
1、计算：（1） ； （2） ；
（1）解： ＝35；
（2）解法1： ＝120．
解法2： ＝120．
2、求证： ．
证明：∵

＝
＝
∴

3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．
(1)全是合格品的抽法有多少种？
(2)次品全被抽出的抽法有多少种？
(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？
(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？
4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有 ， ， ，
所以，一共有 + + ＝100种方法．
解法二：（间接法）

课堂小节：本节课学习了组合的意义，组合数的计算公式
课堂练习：
课后作业：
1.2.2组合
（第二课时）

教学目标：
1 掌握组合数的两个性质；
2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题
教学重点：
掌握组合数的两个性质
教学过程
一、复习引入：
1 组合的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数．用符号 表示．
3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 ，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数 ；② 求每一个组合中m个元素全排列数 ，根据分步计数原理得： ＝ ．
（2）组合数的公式：
或
二、讲解新课：
1 组合数的性质1： ．
一般地，从n个不同元素中取出 个元素后，剩下 个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ? m个元素的组合数，即： ．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想
证明：∵
又 ，∴
说明：①规定： ；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
③ 或 ．
2．组合数的性质2： ＝ + ．
一般地，从 这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素 ，一类不含有 ．含有 的组合是从 这n个元素中取出m ?1个元素与 组成的，共有 个；不含有 的组合是从 这n个元素中取出m个元素组成的，共有 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
证明：

∴ ＝ + ．
3.例子
1．（1）计算： ；
（2）求证： ＝ + + ．
解：（1）原式 ；
证明：（2）右边 左边
2．解方程：（1） ；（2）解方程： ．
解：（1）由原方程得 或 ，∴ 或 ，
又由 得 且 ，∴原方程的解为 或
上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把 和 代入检验,这样运算量小得多.
（2）原方程可化为 ，即 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 或 ，
经检验： 是原方程的解
3. 有同样大小的4个红球，6个白球。
(1)从中任取4个，有多少种取法？
(2)从中任取4个，使白球比红球多，有多少种取法？
(3)从中任取4个，至少有一个是红球，有多少种取法？
(4)假设取1个红球得2分，取1个白球得1分。从中取4个球，使总分不小于5分的取法有多少种？
课堂小节：本节课学习了组合数的两个性质
课堂练习：
课后作业：
1.2.2组合
（第三课时）

教学目标：
1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；
2、能够解决一些组合应用问题
教学重点：
解决一些组合应用问题
教学过程
一、复习引入：
1 组合的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数．用符号 表示．
3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 ，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数 ；② 求每一个组合中m个元素全排列数 ，根据分步计数原理得： ＝ ．
（2）组合数的公式：
或
4.组合数的性质1： ．
5.组合数的性质2： ＝ + ．
二、讲解新课：
例子
1．(1)把n+1个不同小球全部放到n个有编号的小盒中去，每小盒至少有1个小球，共有多少种放法？
(2)把n+1相同的小球，全部放到n个有编号的小盒中去，每盒至少有1个小球，又有多少种放法？
(3)把n+1个不同小球，全部放到n个有编号的小盒中去，如果每小盒放进的球数不限，问有多少种放法？

2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？
解：分为三类：1奇4偶有 ； 3奇2偶有 ； 5奇1偶有 ，
∴一共有 + + ．
3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其 中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
解：我们可以分为三类：
①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有 ；
②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有 ；
③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有 ，
∴一共有 + + ＝42种方法．
4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？
解法一：（排除法） ．
解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有 ；
另一类为甲不值周一，但值周六，有 ，
∴一共有 + ＝42种方法．
5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有 种方法；
第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有 种方法．
根据分步计数原理，一共有 ＝1800种方法
6. 从6双不同手套中，任取4只，
(1)恰有1双配对的取法是多少？
(2)没有1双配对的取法是多少？
(3)至少有1双配对的取法是多少？
课堂小节：本节课学习了组合数的应用
课堂练习：

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