椭圆定义在解题中的应用

椭圆第一定义是圆锥曲线部分的重要概念，在解题中有着重要的应用，本文将椭圆的第一定义在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.
一、利用椭圆第一定义求轨迹方程
例1 已知 中，C（-1，0），B（1，0）， ，求顶点A的轨迹方程.
分析:用正弦定理将 化为 ，由椭圆的第一定义知顶点A的轨迹是以C、B为焦点，长轴长为6的椭圆.
解析：由正弦定理及 得，∴
由椭圆的第一定义知顶点A的轨迹是以C、B为焦点，长轴长为6的椭圆
∴ ， ，∴ =8
∴顶点A的轨迹方程为 （ ）.
点评：本题考查了椭圆的第一定义、正弦定理及椭圆的标准方程，利用定义求轨迹是求轨迹问题的一种重要方法.
二、利用椭圆第一定义解决焦点三角形问题
例2 已知 ， 是椭圆的两个焦点，过 与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ 是正三角形，求椭圆的离心率.
分析：本题关键在于寻找 、 间关系，结合图形，容易找到此关系.
解析：由△ 是正三角形，得 是 为 的直角三角形，设 = ，则 ，则 = ，由椭圆第一定义知， = ，又 = = = = .
点评:本题考查了椭圆的第一定义与椭圆性质，对焦点三角形问题，常用到第一定义.
例3 已知椭圆 ( )的焦点分别为 ， ，P是椭圆上一点， = ，
（1）求 的最大值；（2）求 的面积.
分析：涉及到焦点三角形问题时，根据题意，配凑出 形式，再利用椭圆的第一定义，解决有关问题.
解析：（1）∵ 在椭圆上，∴ =
在 中， = ，
= = = = （当且仅当 时取等号），
又∵余弦函数 在 上是减函数，
∴当 = 时， = ；
（2）在 中，由余弦定理知， = = ，
∴ = =
∴ = = = .
点评：解决椭圆上一点与两焦点构成的三角形问题时，要充分利用正弦定理、余弦定理、椭圆的第一定义，关键是配凑出 的形式.
三、利用第一定义计算椭圆上一点到两焦点的距离问题
例4已知 ， 是椭圆 的两个焦点，过 的直线与椭圆交于 ， ，弦AB=4，求 的周长.
分析：本题涉及椭圆上一点到两焦点的距离问题，利用椭圆第一定义求解.
解析:因为 ， 在椭圆上，所以 =10， =10，
∴ + =10，而 ，
∴ ，即 的周长为20.

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