九年级数学竞赛解直角三角形教案

【例题求解】
【例1】 如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝( )m，则电线杆AB的长为 ．
思路点拨 延长AD交BC于E，作DF⊥BC于F，为解直角三角形创造条件．

【例2】 如图，在四边形ABCD中，AB= ，BC -1，CD= ，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( )
A．60° B．67．5° C．75° D．无法确定
思路点拨 通过对内分割或向外补形，构造直角三角形 ．

注：因直角 三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的 途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．
在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解．

【例3】 如图，在△ABC中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l，D为BC边上一点，tan∠ADC是方程 的一个较大的根?求CD的长．
思路点拨 解方程求出 tan∠ADC的值，解Rt△ABC求出AC值，为解Rt△ADC创造条件．

【例4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0．5米 ，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A距离地面多少米?(精确到1米)
思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路

【例5】 如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：
(1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?
(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?

思路点拨 (1)设甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，则图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点A的影子落在地面上某一点C，求BC即可．
注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力．

学历 训练
1．如图，在△ ABC中，∠A=30°，tanB= ，BC= ，则AB的长为 ．


2．如图，在矩形ABCD中．E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若tan∠ AEH
= ，四边形EFGH的周长为40cm，则矩形 ABCD的面积为 ．


3．如图，旗杆AB，在C处测得旗杆顶A的仰角为30°，向旗杆前北进10m，达到D，在D处测得A的仰角为45°，则旗杆的高为 ．
4．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B处船与小岛M的距离为( )
A．20海里 B．20海里 C． 海里 D．
5． 已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于 的方程
有两个相等的实根，且sinB?cosA—cosB?sinA＝0，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形


6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B=∠D=90°，BC= ，AD=2，则四边形ABCD的面积是( )
A． B． C． 4 D．6
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=1，已知AD、BD的长是关于 的方程 的两根，且tanA—tanB=2，求 、 的值．

8．如图，某电信部门计划修建一条连结B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C地比A地高200米，则电缆BC至少长多少米?(精确到0.1米)
9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，∠CBD＝30，则 = ．

10．如图，正方形ABCD中，N是DC的中点．M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM＝ ．

11．在△ABC中，AB= ，BC=2，△ABC的面积为l，若∠B是锐角，则∠C的度数是 ．
12．已知等腰三角形的三边长为 a、b、c，且 ，若关于 的一元二次方程 的两根之差为 ，则等腰三角形的一个底角是( )
A． 15° B．30° C．45° D．60°

13．如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD= AC，CE= BC，则∠1和∠2的大小关系是( )
A．∠1>∠2 B．∠1<∠2 C．∠1＝∠2 D．无法确定

14．如图，在正方形ABCD中，F是CD上一点，AE⊥AF，点E在CB的延长线上，EF交AB于点G．
(1)求证：DF×FC＝BG×EC；
(2)当tan∠DAF= 时，△AEF的面积为10，问当tan∠DAF= 时，△AEF的面积是多少?

15．在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值．
16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．
(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?

17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．
(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：
①测量数据尽可能少；
②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示； 如果测角，用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．
(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)．

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