相似三角形的应用举例

19.7相似三角形的应用

目的：利用相似三角形的性质解决实际问题．
中考基础知识
通过证明三角形相似
线段成比例

备考例题指导
例1．如图，P是△ABC的BC边上的一个动点，且四边形ADPE是平行四边形．
（1）求证：△DBP∽△EPC；
（2）当P点在什么位置时，S ADPE= S△ABC，说明理由．
分析：
（1）证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有 ADPE 平行线 角相等，命题得证．
（2）设 =x，则 =1-x，
ADPE DP∥AC， EP∥AB，
△BDP∽△BAC △CPE∽△CBA
∴ =（ ）2=（1-x）2， =（ ）2=x2
∴ =x2+（1-x）2．
∵S ADPE= S△ABC，即 = ．
∴x2+（1-x）2= （转化为含x的方程）
x= ，
∴ = ．
即P应为BC之中点．
例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又关于x的方程 x2-2（n-1）x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192，求m，n为整数时，一次函数y=mx+n的解析式．
分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于m，n的方程或不等式，求出m，n再写出一次函数．
抓条件：AC2：BC2=2：1做文章（转化到m，n上）．
双直角图形 有相似形 比例式（方程）
∠ACB=90°，CD⊥AB Rt△BCD∽Rt△BAC
BC2=BD?BA，同理有AC2=AD?AB，
∴ = =m=2n ①
抓条件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-12）．
由（x1-x2）2<192 配方 （x1+x2）2-4x1x2<192．
64（n-1）2-16（m2-12）<192，
4n2-m2-8n+4<0． ②
①代入② n> ．
又由△≥0得4（n-1）2-4× （m2-12）≥0，
①代入上式得n≤2． ③
由n> ，n≤2得 ∵n为整数，∴n=1，2．
∴m=2，4
∴y=2x+1，或y=4x+2．
遇根与系数关系题目则用韦达定理，但必须考虑△≥0．

备考巩固练习
1．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．关于x的一元二次方程x2-2b（a+ ）x+（a+b）2=0的两根之和与两根之积相等，D为AB上一点，DE∥AC交BC于E，EF⊥AB，垂足是F．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若BF=6，FD=4，CE= CD，求CE的长．

2．某生活小区的居民筹集资金1600元，在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上,种植花木如图1
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用．
（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完后筹集的资金？ （3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一个花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由．


3．（1）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
①当 =1时，有EF= ；②当 =2时，有EF= ；③当 =3时，有EF= ．当 =k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m， DC=120cm，AD=70m，若要将这块分割成两块，由两位农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给出具体分割方案．
答案:
1．（1）由x1+x2=x1x2
得2b（a+ ）=（a+b）2
2ab+c2=a2+b2+2ab
∴△ABC是直角三角形．
∴c2=a2+b2
（2）易证△EFD∽△EDB，
∴EF2=DF?DB=40． 设CE=x，则CD= x，
∴DE=（ x）2-x2=40 x=4 ．
2．（1）∵四边形ABCD是梯形（见图）．
∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠MCB， ∠MDA=∠MBC，
∴△AMD∽△CMB，∴ =（ ）2= ．
∵种植△AMD地带花带160元．
∴ =2（m2） ∴S△OMB=80（m2）
∴△BMC地带的花费为80×8=640（元）
（2）设△AMD的高为h1，△BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h
∵S△AMD= ×10h2=20 ∴h1=4
∵ = ∴h2=8
∴S梯形ABCD= （AD+BC）?h= ×30×12=180
∴S△AMB + S△DMC =180-20-80=80（m2）
∴160+160+80×12=1760（元）
又：160+640+80×10=1600（元）
∴应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金．
（3）点P在AD、BC的中垂线上（如图），
此时，PA=PD，PB=PC．∵AB=DC
∴△APB≌△DPC．
设△APD的高为x，则△BPC高为（12-x），
∴S△APD = ×10x=5x，
S△BPC = ×20（12-x）=10（12-x）．
当S△APD =S△BPC即5x=10（12-x）=8．
∴当点P在AD、BC的中垂线上且与AD的距离为8cm时，S△APD =S△BPC．
3．解：（1）猜想得：EF=
证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
∴ ．
又EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，∴DH=EF-a，AG=b-EF，
∴ =k，可得EF= ．
（2）在AD上取一点EF∥AB交BC于点F，
设 =k，则EF= ，DE= ，
若S梯形DCFE=S梯形ABFE，则S梯形ABCD=2S梯形DCFE
∵梯形ABCD、DCEF为直角梯形
∴ ×70=2× （170+ ）× ，
化简得12k2-7k-12=0，解得k1= ，k2=- （舍去）

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