一元二次方程

一元二次方程是初中数学的重点内容，学好一元二次方程意义深远。许多同学由于对这一部分内容理解不透，知识掌握不系统，以致学习中形成很大的学习障碍，常出现畏难情绪。根据笔者的经验，我们认为学好一元二次方程应注意以下几个方面。
一、理解一个概念
学习一元二次方程，首先要认识一元二次方程，课本中给出的定义是：“在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程”。其中包含三个方面的意思：一是方程中只含有一个未知数（未知数唯一），二是未知数的最大指数是2，二次项系数不等于0；三是一元二次方程的整式方程（而非分式方程）。此三者缺一不可，其一般形式为 （a≠0）。判断一个方程是否是一元二次方程，要将方程化为一般式。
例1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：方程（A）含有两个未知数，方程（B）左边是分式，方程（D）整理后是5x+7=0，是一元一次方程。（答案为C）

例2. 关于x的方程 是一元二次方程，则m的取值范围是___________。
解：据一元二次方程定义可知
即 。

二、掌握四种解法
一元二次方程的解法是这一部分内容的重点。一元二次方程有四种解法：即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，其基本思想是降次。四种解法又各有特点，只有准确把握，解方程时才会得心应手。
直接开平方法适宜于解形如 的方程；配方法与公式法是通法，适合任何形式的一元二次方程，其中求根公式的条件是 。而因式分解法适合的方程是：
一边为零而另一边易于分解成两个一次因式的积的方程（其依据是若ab=0，则a=0，或b=0）。在遇到不同形式的方程时，要根据方程的特点选择恰当的方法求解。

例3. 方程① ② ③ ④ 分别适宜于直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

三、牢记两个关系
同学们在学习中要切实把握一元二次方程中的两个关系：一是一元二次方程根的判别式的值与方程的根的关系：二是一元二次方程的根与系数的关系。一元二次方程的判别式是 （用符号 表示），当 时，方程的根依次是：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根（在实数范围内无解）；反过来也成立。
学习过程中同学们不仅要能根据判别式的值来确定方程的根的情况，也要学会根据方程的根的情况，结合判别式的值求方程中所含字母的值。

例4. 不解方程，判别方程 的根的情况。
解：把方程化为一般形式 ，由 知方程无实数根。

例5. 求证关于x的方程 有两个不相等的实数根。
分析：由题知，本题是根据方程根的情况来证明判别式的值恒大于0。
证明：∵ ，
又
∴方程有两个不相等的实数根。

例6. k取何值时，方程 有两个实数根。
分析：本题是根据方程根的情况，结合判别式值构造含k的不等式。
解： ，∵方程有两个实数根，
∴ ，∴ 。
一元二次方程的根与系数的关系是：
若 （a≠0）的两个根是 ；
那么 。
在此我们需要注意的是一元二次方程有实数根是存在以上关系的必要前提，否则不存在，一元二次方程的根与系数的关系应用广泛。
①求参数值

例7. 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
解：设方程另一个根为 ，则 ，
∴

例8. 已知方程 的两个根的平方和是34，求m的值。
解：由根与系数的关系得，
；
∵
∴
②求含两根的代数式的值。

例9. 利用根与系数的关系，求一元二次方程 的两根的平方和。
解：设方程两根为 ，
则 。
∴

③求作新方程
例10. a、b是方程 的两根，不解方程，求作一个新方程，使其两根为 。
解：由题知 ，
∴ ，
，
∴新方程为 。

例11. 已知两数和为8，积为9，求这两个数。
解：由题意得，这两个数是方程
的两根，解此方程即得。

四、学会两个应用
一元二次方程的应用主要有两个方面：其一是在实数范围内用公式法分解二次三项式。
例12. 把 分解因式。
解：方程 。
∴
其二是通过列一元二次方程解实际问题：
例13. 已知菱形的周长是40，两对角线比为3：4，求两对角线的长。
解：由题知菱形的两对角线的一半的比也是3：4，设两对角线的一半分别是3x，4x，
则
解得 （舍去）。
∴ 。

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