九年级数学竞赛方程与函数辅导教案

【例题求解】
【例1】 若关于的方程 有解，则实数m的取值范围 ．

思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数 ， 函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m的取值范围．

【例2】设关于 的方程 有两个不相等的实数根 ， ，且 <1< ，那么 取值范围是( )
A． B． C ． D．

思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来 解决，即求对应的二次函数与 轴的交点满足 <1< 的 的值，注意判别式的隐含制约．

【例3】 已知抛物线 ( )与 轴交于两点A( ，0)，B( ，0)( ≠ )．
(1)求 的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
(2)若抛物线与 轴交于点C，且OA+OB＝OC一2，求 的值．

思路点拨 、 是方程 的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．
【例4】 抛物线 与 轴的正半轴交于点C，与 轴交于A、B两点，并且点B在A的 右边，△ABC的面积是△OAC面积的3倍．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)判断△OBC与△OCA是否相似，并说明理由．

思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m的等式，求出m的值；对于(2)依m的值分类讨论．

【例5】 已知抛物线 上有一点M(， )位于 轴下方．
(1)求证：此抛物线与轴交于两点；
(2)设此抛物线与 轴的交点为A( ，0)，B(，0)，且 < ，求证： < < ．

思路点拨 对于(1)，即要证 ；对于(2)，即要证 ．

学历训练
1．已知关于 的函数 的图象与 轴有交点，则m的取值范围是 ．
2．已知抛物线 与 轴交于A ( ，0)，B( ，0)两点，且 ，则 ．
3．已知二次函数y=kx2+(2k－1)x―1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1 x2，时，y>O；③方程kx2+l(2k－1)x―l=O有两个不相等的实数根x1、x2；④x1<－l，x2>－l；⑤x 2－x1= ，其中所有正确的结论是 (只需填写序号) ．
4．设函数 的图象如图所示，它与 轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则 ＝( )．
A．8 B．一4 C．1l D．一4或11

5．已知：二次函数y＝x2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2，0)两点，其顶点坐标为P(－ ， )，AB＝｜x1－x2，若S△APB＝1，则b与c的关系式是 ( )
A．b2－4c+1= 0 B．b2－4c－1=0
C．b2－4c+4=0 D．b 2－4c－4=0

6．已知方程 有一个负根而且没有正根，那么 的取值范围是( )
A． >-1 B． ＝1 C． ≥1 D．非上述答案
7．已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）a、c的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC的长度是线段OA、O B长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=4 ，求a、c的值．



8．已知：抛物线 过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为 ，与 轴分别交于B(x1,0)、C(x2，0)两点(其中且 < )，且 ．
(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；
(2)设此抛物线与 轴交于D点，点M是抛物线上的点，若△MB O的面积为△DOC面积的 倍，求点M的坐标．
9．已知抛物线 交x轴于A（ ，0）、B（ ，0），交y轴于C点，且 ＜0＜ ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.

10． 设 是整数，且方程 的两根都大于 而小于 ，则= .

11．函数 的图象与函数 的图象的交点个数是 ．

12．已知 、 为抛物线 与 轴交点的横坐标， ，则 的值为 ．
13．是否存在这样的实数 ，使得二次方程 有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定 的取值范围；如果没有，试述理由．
14．设抛物线 的图象与 轴只有一个交点．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
15．已知以 为自变量的二次函数 ，该二次函数图象与 轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于 的方程 的一整数根，求 的值．
16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O，顶点坐标为(1，一2)，与 轴交于点A，B，与y轴交于点C，且满足关系式 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．

17．设 是实数，二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点A（ ，0）、B（ ，0）．
(1)求证： ；
(2)若A、B两点之间的距离不超过 ，求P的最大 值．

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