对数函数及其性质

数学必修1：对数函数（三）
目标：
知识与技能理解指数函数与对数函数的依赖关系， 了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．
过程与方法通过作图，体会两种函数的单调性的异同．
情感、态度、价值观对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．
重点：
重点难两种函数的内在联系，反函数的概念．
难 点反函数的概念．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节 呈现教学材料师生互动设计
创
设

情
境材料一：
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：
（1）求生物死亡t年 后它机体 内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（2）已知一生物体内碳14的残留量为P， 试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（3）这两个函数有什么特殊的关系？
（4）用映射的观点来解释P和t之间的对应关系是何种对应关系？
（5）由此你能获得怎样的启示？生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果．
师：引导学生分析归纳，总结概括得出结论：
（1）P和t之间的对应关系是一一对应；
（2）P关于t是指数函数 ；
t关于P是对数函数 ，它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系；
（3）本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系）的不同数学模型．
材料二：
由对数函数的定义可知，对数函数 是把指数函数 中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画 的图象时，也是把指数函数 的对应值表里的 和 的数值对换，而得到对数函数 的对应值表，如下：
表一 ．

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…-3-2-10123…
… 1248…
表二 ．

…-3-2-10123…

…

1248…

在同一坐标系中，用描点法画出图象．生：仿照材料一分析： 与 的关系．
师：引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念．
组织探究材料一：反函数的概念：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．
由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．
材料二： 以 与 为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？师：说明：
（1）互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数；
（2）由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数”；
（3）互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数 学模型．
师：引导学生探索研究材料二．
生：分组讨论材料二，选 出代表阐述各自的结论，师生共同评析归纳．
尝试练习求下列函数的反函数：
（1） ；（2）
生：独立完成．
巩固反思从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．
作业反馈1．求下列函数 的反函数：

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2．（1）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f(a?b)=f(a)+f(b)．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？
（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f(a+b)=f(a)?f(b)．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？答案：
1．互换 、 的数值．
2．略．
课外活动我们知道，指数函数 ，且 与对数函数 ，且 互为反函数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！
问题1在同一平面直角坐标系中，画出指数函数 及其反函数 的图象，你能发 现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？
问题2 取 图象上的几个点，说出它们关于直线 的对称点的坐标，并判断它们是否在 的图象上，为什么？
问题3如果P0 （x0，y0）在函数 的图象上，那么P0关于直线 的对 称点在函数 的图象上吗，为什么？
问题4由上述探究过程可以得到什么结论？
问题5上述结论对于指数函数
，且 及其反函数 ，且 也成立吗？为什么？结论：
互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称．


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