数学归纳法

一、创设情境，启动思维
情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等；
教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？ 以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.
情境二：华罗庚的“摸球实验”
1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？
启发回答:
方法一：把它全部倒出来看一看．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．
方法二：一个一个拿，拿一个看一个．
比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．
2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？
情境三: 回顾等差数列 通项公式推导过程：

设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.
二、师生互动，探究问题
承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？ 归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？
学生回答以上问题，得出结论：
1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般；
2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；
3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.
在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用．例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法．
4. 引导学生举例：
⑴不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式: (V为顶点数,E为棱数,F为面数)
⑵ 完全归纳法实例： 如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论．
设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.
三 、借助史料, 引申思辨
问题1： 已知 ＝ （n∈N），
(1) 分别求 ； ； ； ．
(2) 由⑴你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？
问题2： 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．他曾认为，当n∈N时， 一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了 ＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
教师总结: 有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个数上！
问题3 ： , 当n∈N时， 是否都为质数？
验证： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝ ，是合数．
承上启下：这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来 , 寻求数学证明.
教师设问：,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？
设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此．那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？ 结论正确性怎样给出证明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.
四、实例再现，激发兴趣
1、演示多米诺骨牌游戏视频.
师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：
⑴ 第一块要倒下;
⑵ 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;
当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.
再举例：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．
2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）.
设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．另外，这个环节里，我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好．应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即可。事实上，情境的设计都是为学生更好的知识迁移而服务的。概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，突破口就是学生的概括过程．
五、类比联想，形成概念
1、 类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式 (师生共同完成,教师强调步骤及注意点)
(1) 当n＝1时等式成立；
(2) 假设当n＝k时等式成立, 即 ,
则 = , 即n＝k＋1时等式也成立．
于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式 对任何n∈ 都成立．
2．数学归纳法原理(学生表述,教师补正)：
（1）（递推奠基）：n取第一个值 (例如 )时命题成立；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
利用它证明当n=k+1时结论也正确.（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确，这种证明方法叫做数学归纳法．
3、数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
设计意图：至此，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程.教师强调数学归纳法特点. 数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数有关问题的有力工具，一种具普遍性的方法.
六、讨论交流，深化认识
例1、 数列 中, ＝1, (n∈ ), 通项公式是什么？你是怎么得到的？
探讨一：观察数列 特点，变形解出.
探讨二：先计算 ， ， 的值，再推测通项 的公式, 最后用数学归纳法证明结论．
设计意图：通过典型例题使学生探究尝试，一方面体验“观察—归纳—猜想—证明”完整过程，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能使他们体验数学方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．不同的方法也体现解决问题的灵活性.
七、反馈练习, 巩固提高
（请两位同学板演以下两题，教师指正）
1、用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝ ．
2、首项是 ，公比是q的等比数列的通项公式是 ．
3、用数学归纳法证明： 时，下列推证是否正确，说出理由？
证明：假设 时，等式成立
就是 成立
那么
=
这就是说当 时等式成立，
所以 时等式成立.
4、判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.
求证：
证明：①当n=1时，左边＝ 　右边＝ ，等式成立.
　　　②设n=k时，有
　 那么，当n=k+1时，有
，即n=k+1时，命题成立
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立.
设计意图：练习题1，2的证明难度不大，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．这样既可以检验学生的学习水平，保证不盲目拔高，同时不冲淡本节课的重点，对例题是一个很好的对比与补充．通过3，4的易错辨析，进一步体会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”.
八、总结归纳，加深理解
1、本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；
2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，枚举法仅局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；
3、数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；
4、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证思想．
九、布置作业, 课外延伸
十、书面作业：见教材P56
课后思考题：
1. 是否存在常数a、b、c使得等式：
对一切自然数n都成立 并证明你的结论.

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