锐角三角函数值的求法

一、知识概述
(一)锐角的三角函数的意义
1、正切的概念
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA．

2、正弦和余弦的概念
　　如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即

　　锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
3、三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数．
(二)同角的三角函数之间的关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α=1
(2)商数关系：
（三）互余的两角的关系
　　任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA?tanB=1．
(四)特殊锐角的三角函数值
　0°30°45°60°90°
sinA0 1
cosA1 0
tanA0 1 —
(五)锐角三角函数值的求法
1、用计算器求三角函数值
　　求整数度数的锐角三角函数值．
　　在计算器的面板上涉及三角函数的键有 和 键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按 ，则屏幕上就会显示出结果．
例如：计算sin44°．
解：
　　按键 ，再依次按键 ．
　　则屏幕上显示结果为0.69465837．
　　求非整数度数的锐角三角函数值．
　　若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按 和 三个键之一，然后再依次按度 分 秒 键，然后按 键，则屏幕上就会显示出结果．
2、已知三角函数值，用计算器求角度
　　已知三角函数值求角度，要用到 、 键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和 键．具体操作步骤是：先按 键，再按 键之一，再依次按三角函数值，最后按 键，则屏幕上就会显示出结果．
　　值得注意的是型号不同的计算器的用法可能不同．
二、重点难点疑点突破
1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin?A或cos?A．
(2) 是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．
(3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA?sinB≠sin(AB)
(4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2
(5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
2、同名三角函数值的变化规律
　　当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大；余弦三角函数值随着角度的增大而减少．
三、解题方法技巧点拨
1、求锐角三角函数的值
例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若 ，求cosB，tanB的值．
分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解．
解：如图，设BC=3m，则AB=5m，

　　
(2)如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（　）

　　
分析：
　　因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°．因为BC=6，AC=8，所以AB=10．因为∠ABD=∠ACD=∠ABC，所以在Rt△ACB中， 故正确答案为D．
答案：D

分析：
　　(1)要求sinα与cosα的关系的值，而已知tanα的值，故可通过 来求值．
　　(2)已知tanα的值，也可通过 ，把要求的式子的分子，分母同时除以cos2α转化成关于tanα的关系，这样便可求出结论．

点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换．
2、化简计算
例3、计算

分析：
　　这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义．
解：
　　
　　
点评：
　　学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两步：(一)代入；(二)计算．因此，特殊角的三角函数值必须牢记．
3、三角函数的增减性
例4、若α为锐角且sinα＞sinβ，那么（　）
A．tanα＞tanβ　　　　　　　B．tanα＜tanβ
C．tanα=tanβ　　　　　　　 D．tanα、tanβ大小关系不确定

4、已知三角函数值求角
对于非特殊角可用计算器求角，若是特殊角的三角函数值则可以直接得角度．
例如：已知cosα=0.5237，求锐角α．
解：
　　按键 ，再依次按键 ．
　　则屏幕上显示结果为58.41923095．
例5、求适合下列各式的锐角α．
　　
点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合条件的三角函数值应舍去．
5、求线段长与面积
例6、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．

分析：
　　题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．

点评：
　　（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．
　　（2）有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求解．
例7、如图所示．在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积．

分析：
　　由已知∠B=90°，∠A=60°这两个条件想到延长BC，AD，使它们相交，构成直角三角形．

例8、在矩形ABCD中DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且 ，AB=4，求AD．

分析：
　　在矩形中AB=DC=4，可证∠α=∠1，于是条件转移到△DCE中来了，求出DE．
解：
　　在矩形中AB=DC=4，
　　∠2＋∠α=90°
　　又DE⊥AC，
　　∠1＋∠2=90°
　　∴∠1=∠α

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