2013年高二下册理科数学期末试卷(含答案)

高二理科数学试题卷
一、XK(共10小题，每小题4分,共40分)
1． 是虚数单位，复数 的虚部是 ( ▲ )
A． -2i B．-2 C．2 D．1
2.下列求导运算正确的是 ( ▲ )
A. B.
C. D.
3. 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为 ( ▲ )
A．1 B． C． D．
4.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点，因为函数 在 的导数值 ，所以 是函数 的极值点. 以上 推理中 ( ▲ )
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确
5．设实数 满足 ，则 中 ( ▲ )
A．至多有两个不小于1 B．至少有两个不小于1
C．至多有一个不大于1 D．至少有一个不小于1
6.已知离散型随机变量X的分布列如右表所示，若E(X)=0，D(X)=1，则a-b= ( ▲ )
A . B.
C . 1 D. 0
7. 若 的展开式中常数项为－1，则 的值为 ( ▲ )
A．1 B．8 C．－1或－9 D．1或9
8. 从6个高度不同的同学中选取5个同学排成一排照相，要求偶数位置的同学高于相邻两个奇数位置的同学，则可产生的照片数是 ( ▲ )
A． 60 B.72 C.84 D.96
9.已知 是定义在R上的函数，且 ， >1,则 的解集是( ▲ ) ．(0 , 1) B． C． D．
10． 口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列 ： ，如果 为数列 的前n项之和，那么 的概率为 ( ▲ )
A． B． C． D．
二、题(共7小题，每小题4分,共28分)
11．已知a,b是实数，且 （其中i是虚数单位），则 的值是___▲___．
12. ____▲_ ．
13.求曲线 在点 处的切线方程_______▲________．
14.函数 的单调递减区间是 ▲ ．
15．用数学归纳法证明“ ”（ ）时，从 “ ”时，左边应增添的式子是 ▲ ．
16.函数 的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是__________▲________．
17. 如图,将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）
按如下规则标上数字标签：原点 处标0，点 处标1，点 处标2，点 处标3，点 处标4，点 处标5，………,依此类推，则标签 对应的格点的坐标为__ ▲____．
三、解答题：本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本题满分8分）学校组织5名同学甲、乙、丙、丁、戊去3个工厂A、B、C进行社会实践活动,每个同学只能去一个工厂。
（1）问有多少种不同分配方案？
（2）若每个工厂都有同学去，问有多少种不同分配方案？【结果用数字作答】
19.（本题满分8分）已知数列{an}、{bn}满足： .
（1）求b1,b2,b3,b4；
（2）猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明；
20．（本题满分10分）若 的展开式中 与 的系数之比为 ，其中
（1）当 时，求 的 展开式中二项式系数最大的项；
（2）令 ，求 的最小值．
21. （本题满分12分）盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球．规定：一次摸出3只球，如果这3只球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元．
（1）若某人摸一次球，求他获奖励10元的概率；
（2）若有10人参加摸球游戏，每人摸一 次，摸后放回，记随机变量 为获奖励的人数.
（i）求 ；（ii）求这10人所得总钱数的期望．（结果用分数表示，参考数据： ）
22. （本题满分14分）
（A类）(第一、二层次学校的学生做此题)
已知函数
（1）若 为 的极值点，求实数 的值；
（2）若 ， 在 上为增函数，求实数 的取值范围；
（3）若 ，使方程 有实根，求实数 的取值范围．
（B类）(第三、四层次学校的学生做此题)
已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋c(c>0)，其导函数y＝h′(x)的图象如下，且f(x)＝ln x－h(x)．
(1)求a,b的值；
(2)若函数f(x)在12，m＋14上是单调递减函数，求实数m的取值范围；
(3)若函数y＝2x－lnx(x∈[1,4])的图象总在函数y＝f(x)的图象的上方，求c的取值范围．
参考答案
一、XK(共10小题，每小题4分,共40分)
BCBAD ADDCB
二、题(共7小题，每小题4分,共28分)
11． 12. 13. 14.
15． 16. 17. (1007,-1007)
三、解答题：本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本题满分8分（1） ……………………………………………………3分K]
（2）分两类：
①三个同学去某个工厂，另外两个工厂各1人去有 种情况。………5分
②一个同学某个工厂，另外两个工厂各2人去有 ，……………7分
所以共有 150种情况……………………………………………………………………8分
19.（本题满分8分）解： （1)
∵ ∴ ……………………………4分[来
（2）猜想 ，下面用数学归纳法证明；………………………………5分
①当 时， ，命题成立；…………………………………6分
②假设当 时命题成立，即 ；
那么当 时， ，
所以当 命题也成立；
由①②可知对任意正整数命题都成立。……………………………………8分
20．（本题满分10分）
（1）展开式中含 的项为： ，展开式中含 的项为： ……2分
得： ， ……………………………………………………3分
所以，当a=1时， 的展开式中二项式系数最大的项为
………………………………………………5分
（2）由 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 递减，在 递增，
得 的最小值为 , 此时
21. （本题满分12分）解：（I） ………………………………………3分
（II）方法一：（i）由题意 服从
则 …7分
（ii）设 为在一局中的输赢，则
………………………………12分
方法二：
（i） …7分
（ii）
…………………………………12分
22. （本题满分14分）（A类）(第一、二层次学校的学生做此题)
解：（1）
的极值点，
………………2分[来源:Z#x
检验：当 时， ， 从而 的极值点成立．……3分
（2）因为 上为增函数，
所以 上恒成立．
所以 上恒成立．…………………5分
若 ，则 ， 上为增函数不成立。……6分
若 令 ，
其对称轴为 因为
从而 上为增函数．
所以只要 即可，即
所以 又因为 ………………………9分
（3）若 时，方程
可得 在x>0上有解………………………………………10分
法一：令
由 ，
从而 上为增函数；当 ，从而 上为减函数．
可以无穷小．………………………………………………12分
结合函数h(x)与函数 的图象
可知 ………………………………………………… 14分
法二：即 上有解
即求函数 的值域．
当 ，所以 上递增；
当 所以 上递减；………………12分
又
所以 上递减；当 ，
所以 上递增；当 上递减；
又当 ，
当 则
所以 ………………………………………………… 14分
（B类）(第三、四层次学校的学生做此题)
解：(1)由题知，h′(x)＝2ax＋b，其图象为直线，且过A(2，－1)、B(0,3)两点，
∴4a＋b＝－1b＝3，解得a＝－1b＝3 ………………………………………… 3分
(2)由题意可知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f′(x)＝2x－3＋1x＝2x2－3x＋1x＝ ………………… 4分
令f′(x)＝0，得x＝12或x＝1.
当x变化时，f(x)、f′(x)随x的变化情况如下表：
x0，12
12
12，1
1(1，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x)?
极大值?
极小值?
∴f(x)的单调递减区间为12，1.…………… 7分
要使函数f(x)在区间12，m＋14上是单调递减函数，
则12故实数m的取值范围是14，34………………………………………………9分
(3)由题意可知，2x－ln x>x2－3x－c＋ln x在x∈[1,4]上恒成立，
即当x∈[1,4]时，c>x2－5x＋2ln x恒成立
设g(x)＝x2－5x＋2ln x，x∈[1,4]，则c>g(x)max.……………………………11分
易知g′(x)＝2x－5＋2x＝2x2－5x＋2x＝ .
令g′(x)＝0得，x＝12或x＝2.
当x∈(1,2)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x∈(2,4)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．
而g(1)＝12－5×1＋2ln 1＝－4，g(4)＝42－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2，
显然g(1)

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