锐角的三角函数值

21.2锐角的三角函数值
一、教法设想：
通过同学们经常使用的三角板，让同学们计算一下，当∠A=30°, ∠A=45°, 由于同学们所使用三角板大小不一，但他（她）们求得的比值都是 和 ，这是为什么呢？
由相似三角形有关性质得出：在这些直角三角形中，锐角A取一个固定值，∠A的对边与斜边的比值仍是一个固定值，进而再引入正弦，余弦的概念，并向同学说明0< sinA < 1, 0< cosA< 1（∠A为锐角）.
再分别求出30°，45°，60°特殊三角函数值并应用其进行计算，进一步研究任意锐角的正弦值与余角的余弦值关系.
根据30°，45°，60°正、余弦值分析，引导同学归纳出：当角度在0°—90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；当角度在0°—90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.
适时介绍正弦和余弦表的构造. 结合实例进行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然. 正确处理好修正值.
对学有余力的学生，也可适当介绍“sin2A+ cos2A = 1”这一重要关系式.
在学习正弦、余弦的概念后，再进一步学正切、余切较容易，可仿正弦、余弦的教法进行，对学有余力的学生也可讲授 这些重要关系式.
在中对0°，30°，45°，60°，90°的特殊角的三角函数值要求学生一定要熟记，为此，我们可分别列出表并编出口决让学生记易，省时易记.
表I：
三角函数30°45°60°
Sinα
Cosα
tgα
口决：一，二，三，三，二，一，三九二十七.
表II.
三角函数0°30°45°60°90°
Sinα

Cosα

tgα0
1
──
ctgα──
1
0
口决：0，一，二，三，四带根号，比上2要记牢.
第二行左右倒，三，四行靠推导.
【指点迷津】
本单元锐角三角函数的引进，使形与数紧密结合为一体，开辟了数形结合的新航向. 因此，在本单元中，务必注意数形结合思维方法的引导，应用. 用其法解决生活中的实际问题. 达到得心应手.
二、学海导航：
【思维基础】
1. 锐角三角函数定义
Rt△ABC中，∠C= 90°，AB= c，BC= a，AC= b， 则∠A的正弦，余弦，正切，余切分别是：SinA = ________ CosA =_______ tgA =________ CtgA= ________. 它们统称为∠A的锐角三角函数. （1）一锐角的三角函数值是四个_______；锐角三角函数都不可能取_________，且A为锐角时，SinA，CosA均在______~ ______内取值.
2. 特殊角的三角函数值（完成下表）


0°30°45°60°90°增减值
Sinα
Cosα
tgα
ctgα


3. 互余角间的三角函数关系，△ABC中，∠C= 90°，A + B = 90°，∠B =90°－A，则有：
Sin(90°－A) = ___________
Cos(90°－A) = ___________
tg (90°－A) = ___________
Ctg(90°－A) = ___________.
4. 同角三角函数关系公式：（∠A为锐角）.
（1）Sin2A + Cos2A = ___________; Cos2A = ___________, Sin2A = ____________.


【学法指要】
例1. 如果∠A为锐角，CosA= ，那么（ ）
A. 0°< A ≤30° B. 30°< A≤45°
C. 45°< A ≤60° D. 60°< A < 90°
思路分析：

当角度在0°~ 90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减少）而减小（或增大）.
∴ 60°< A < 90° 应选D
例2. 当45°< X < 90°时，有（ ）
A. Sin x > Cos x > tg x B. tg x > Cos x > Sin x
C. Cos x > Sin x > tg x D. tg x > Sin x > Cos x
思路分析： ∵ 45°< x < 90° ∴ 取A = 60°

， ∴tg x > Sin x > Cos x
∴ 应选D
解选择题，采取特例法可出奇制胜，如本例取x = 60°在45°< x < 90°的范围内，很快可知Sin 60°,Cos 60°,tg60°的值，谁大谁小，相形见绌. 因之，在解决有关选择题时，根据题目的限制条件，灵活选取特殊值（也可画特殊图形，特殊点，特殊位置，特殊线等），可巧夺天工.
例3. 计算：
思咯分析：若a≠0时 , a0 = 1

对此项中的Sin36°是一项干扰支. 迷惑同学们，因为Sin36°，不是表内特殊值，求不出来，至使解题陷入僵局，其实不然. 不需要求Sin36°之值，只需要知道 即可. 因而，解题时，必须善于排除干扰支，解除困惑，准确使用数学概念，正确求出答案，对于特殊角三角函数值的计算，一. 要准确无误代入三角函数值；二. 要按照实数的运算法则进行运算；三. 运算的结果必须是最简关系式. 于是对上式便一目了然了.

例4. 已知方程 的两根为 tgθ, ctgθ,求k和θ，（θ为锐角）
思路分析：∵tgθ, ctgθ为二次方程 的二根，根据与系数关系式，得

∵tgθ? ctgθ=1 ∴k = 1
∴原方程为

即tgθ= , ctgθ= 或 tgθ= , ctg =
故θ1=30° θ2 = 60°
锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系，各种知识交织在一起，因而必须把综合知识进行剖析，分解，然后各个击破，便可打通思路. 如本例，首先运用二次方程的有关知识──根与系数关系；再运用锐角三角函数的倒数关系求出K，又回到解一元二次方程来，解出二根，从中求出tgθ,ctgθ之值，再求出对应的θ之值，总之，善于剖析，化整为零，一个一个解决，对复杂的综合题便可攻破了.
例5. 在△ABC中，三边之比a：b：c = 1： ：2，则SinA + tgA等于（ ）
A. B.
C. D.
思路分析：∵ a：b：c = 1： ：2
∴ 可设a = k, b = k , c = 2k ( k > 0 )
∴a2 + b2 = k2 + ( k)2= 4k2 = (2k)2 = c2
∴ △ABC是直角三角形，且∠C= 90°
根据三角函数定义，可知：

∴△ABC是直角三角形，且∠C= 90°
根据三角函数定义，可知：

∴SinA + tg A

∴ 应选（A）
对于题设是以连比形式出现的，通常都是增设参数K，将未知转化已知，使问题明朗化，进而再研究三角形三边的关系，从而判定为直角三角 形，又转化为锐角三角函数问题，找到思路，这是解决此类问题的常用方法，而且又比较方便，请同学们今后遇到此类问题，可小试“牛刀”.
【思维体操】

例1. 已知AD是直角△ABC的斜边BC上的高，在△ADB及△ADC中分别作内接正方形，使每个正方形有两条边分别在DB，DA及DC，DA上，而两个正方形的第四个顶点E，F各在AB，AC上，求证：AE= AF.
揭示思路1：设∠ABC= α. 正方形EMDG与正方形DNFH的边长分别为a , b
∵AD = AG + DG = a?tgα + a
AD = AH + DH = b?Ctgα+b
∴a tgα + a = b ctgα+b
∴
= b?ctgα= AH.

∴AE = AF
揭示思路2：
设BC = a , 且∠ABC=α，则有
AB = a cosα



同理：
∴AE = AF
由上两种思路证得AE= AF， 可发现用三角法研究几何问题，开门见山，直截了当，只要所给定的几何图形中有直角三角形. 便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式，再应用代数法计算一下，便可达到目的. 题设所给的问题中，未有给定直角三角形，只要能构造出直角三角形，同样也可转化为用三角法证解之，而且也比较方便，由此可见，用三角法证（解）几何问题为解几何问题又开拓了新的渠道. 为数与形结合提供了新的条件，我们应在这条新渠道不断探索，取得新的成果. 现沿这思路继续扩散.

扩散一：
如图，Rt△ABC中，有正方形DEFG，D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上，求证：EF2 = BE?FC
揭示思路：从题设及图形中都可发现有直角三角形，所以用三角法证之比较顺畅.
在Rt△BDE中，
在Rt△GFC中，
∵∠B + ∠C =90°，∴tgB = tg(90°－ C) = ctgC
∴
∵DE = GF = EF
∴EF2 = BE?CF
扩散二：

在△ABC外侧作正方形ABDM和ACEN， 过D，E向BC作垂线DF，EG，垂足分别为F，G，求证：BC = DF + EG
提示思路：观察图形可发现直角三角形DFB及直角三角形EGC. 便萌生用三角法证明，可是此时DF，EG比较分散. 设法作AH⊥BC再构两个直角三角形，通过正方形为“媒介”，这样把DF，EG就有了联系. 此时，应用锐角三角函数定义建立边角关系，便可马到成功！
在Rt△EGC中，
∴EG = b cosβ
在Rt△DBF中，同理，DF = c cosα（设b, c , α,β如图）
∴EG + DF = b Cosβ + c cosα
在 Rt△ABH中，BH = c cosα
在 Rt△ACH中，CH = b cosβ
∵BC = BH + CH , ∴BC = b cosβ + c cosα
∴BC = EG + DF
扩散三：

设顶角A = 108°的等腰三角形的高为h，∠A的三等分线及其外角的四等分线分别为P1，P2，求证：
揭示思路： 从图形中可发现有几个直角三角形存在，这个信息向我们提供用三角法证明是得天独厚的条件，不要犹豫，不然，将会失去良机.
如图，设△ABC的底边上的高AH = h , ∠A的三等分线AD= P1， ∠A的外角四等线AE = P2，∠BAC= 108°，AB = AC，
∴∠DAH = 18°
在Rt△ADH中，cos18°=
∵ ∠CAE = (180°－108°)= 18°
∠ACB = (180°－108°)= 36°
∴∠AEC = 18°
在Rt△AHE中，Sin18°=

扩散四：

已知：如∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为D、E、F.
求证：
揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法证之更不宜迟，用锐角三角函数定义，列出边角关系，可十分巧妙就证得结论.
设∠ABC = α，则∠DAF = ∠CDF= α
扩散五：
在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC = 20F
揭示思路：观察图形，图中有许多直角三角形，它启示我们用三角法作为“向导”，可直达目的地.
∠BEF = ∠ACB + ∠EAC = 45°+∠BAE
∵∠BFE= ∠CAE, ∴∠BEF = ∠BFE,
∴BE = BF
进而可知AD = DF
设正方表ABCD边长为1，又设∠BAE = ∠CAE =α
则OA= OB =
在Rt△ABE中，BE = AB?tgα= BF
BF = OB－OF = OB － OA?tgα
∴ABtgα= OB － OAtgα

∴OF = OA?tgα= ( －1)
EC= BC－BE = 1－1?tgα= 1－ +1 = 2 － = ( －1)
∴EC = 20F
应用锐角三角函数的定义研究几何问题；直观，又少添或不添设辅助线，充分发挥数的长处. 把几何问题通过锐角三角形边角关系，应用计算法，便可曲径通幽，柳暗花明. 同学们应加强这方面的学习，以拓宽几何证题思路.
三、智能显示
【动脑动手】
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，则SinB + CosB的值（ ）
（A）大于1 （B）小于1
（C）等于1 （D）不确定
2. 在△ABC中，它的边角同时满足下列两个条件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB是方程4x2－cx + 1 = 0的两个根，求a，b，c及S△ABC
3.证明：“从平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D向形外的任意直线MN引垂线AA＇BB＇CC＇DD＇垂足是A＇B＇C＇D＇（如下图）
求证：AA＇ + CC＇=BB＇ + DD＇，现将直线MN向上移动，使得A点在直线的一侧，B、C、D三点在直线的另一侧（如中图），这时，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足为A＇B＇C＇D＇，那么垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间存在什么关系？如将直线MN再问上移动，使两侧各有两个顶点（如下图）. 从A，B，C，D向直线MN作的垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间又有什么关系？根据左图，中图，右图写出你的猜想，并加以证明.

揭示思路：1. 在Rt△ABC中，∠C= 90°
由锐角三角函数定义，得

∵a + b > c

∴SinB + CosB > 1 , 应选A.
2. ∵SinC = 1 , ∴∠C = 90°
∵SinA + CosB = ,SinA CosB =
又A + B = 90°, ∴B = 90°－A
∴CosB = Cos(90°－A ) = SinA

∴c = 4 , A= 30°, a = 2 , b =
3. 猜想如下：

对于中图有：CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇
对于右图有：CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇
证法1. 如图,设∠AEA＇= α,则AA＇= AESinα= (OA－OE)Sinα= OASinα－OESinα，又CC＇= CESinα= (OC + OE ) Sinα= (OA + OE ) Sinα = OASinα+ OESinα
∴CC＇－ AA＇= 2OESinα
∵OO＇= OESinα, ∴CC＇－ AA＇= 2OO＇
由题设知，OO’为梯形BB’D’D的中位线.

∴BB＇+ DD＇= 2OO＇
∴CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇
（2）如图，仿（1）证法可得
CC＇－ AA＇= 2OESinα
DD＇－BB = 2OFSinβ
∵OESinα= OFSinβ,
∴CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇

证法二：（1）延长CB交MN于E，设AD与MN交于F， 又设∠AFA＇= α，则∠BEB＇= α，在Rt△EBB＇中，

∵BE= CE－ CB
∴BB＇= BESinα－ CBSinα
在R t△ECC＇中，Sinα= ,
∴CC’= CESinα
∵CC＇－ BB＇= BCSinα
在Rt△AA＇F与Rt△FDD＇中.
AA＇= AFSinα, DD＇= DFSinα
∵DF= AD － AF
∴DD＇= ADSinα－ AFSinA＇
∴DD＇= ADSinα－ AA＇
∴DD＇+ AA＇= ADSinα

∵AD= BC, ∴CC＇－ BB＇= DD＇+ AA＇
∴CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇
（2）仿证法（1）同样可证得
CC＇+ BB＇= BCSinα
AA＇+ DD＇= ADSinα
∴CC＇+ BB＇= AA＇+DD＇，
∴CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇
证法三：（1）如图，作DE⊥CC＇， 则DD＇C＇E为矩形，∴CE= CC＇－ DD＇
设∠AFA＇= α， 则易知∠CDE= α 在Rt△CDE中，

∴CC＇－ DD＇= CDSinα
在Rt△AFA＇中， AA＇= AFSinα
在Rt△FBB＇中， BB＇= BFSinα
∴BB＇= (AB－ AF)Sinα= ABSinα－ AFSinα
∴AA＇+ BB＇= ABSinα
∵AB = CD, ∵AA＇+ BB＇= CC＇－ DD＇
∴CC＇－ AA＇= DD＇+ BB＇
（2）如图，仿（1）同法可证：
CC＇－ AA＇= DD＇－BB＇

【创新园地】

已知△ABC中，∠BAC= 120°，∠ABC=15°，
∠A，∠B，∠C的对边分别为a, b ,c那么a：b：c = _________ （本结论中不含任何三角函数，但保留根号，请考虑多种解法）.
解法一：过点B作BD⊥AC交CA的延长线于点D.
∴∠BAC=120°，
∠ABC= 15°, ∴∠ACB= ∠DBC=45°,∠ABD= 30°
在Rt△ABD中，Sin30°= ∴AD= c
Cos30°= ， ∴BD =
∴b － BD － AD =
a =
∴ a：b：c =
=

解法二：如图，作AD⊥BC， 交BC于D，在AB上取AE = AC， 连CE， 作AF⊥CE，交CE于F，则∠ACE = ∠AEC= ，∠BCE= ∠ACB－ 30°= 45°－ 30° = 15°
∴ △BEC为等腰三角形，∴BE= CE
设AD = CD = 1， 则AC = ， 即b =
∴CE = 2 AC Cos30°=
∴AB= AE + EB = + ， 即c = +
∴BD =
∴BC = BD + DC = 3 + ，即a = 3 +
∴ a：b：c = （3+ ）： ：（ + ）
=

解法三：如图，作AD⊥BC, 交BC于D, 在BC上取点E，使∠BAE = ∠B = 15°,那么，连接AE， 得：∠AEC = 30°，AE = BE. 设AD = DC = 1， 则AC = ，即b = ，AE= BE = 2AD = 2，DE = AE?Cos30° =
∴
即c = +
∴ a：b：c = (3+ ) ： ：( + )
=

解法四：如图，BD = x， 则2x2 = a2，

∴x =
= （参照解法一图）
解法五：
以BC为直径作⊙o， 延长CA交⊙o于在，连BD，设a =2r，则BD = r , AD=

=
解法六：建立如图坐标系，则可求：

解法七：建立如图坐标系，由B点引X轴的垂线，垂足为D，则

解法八：建立如图坐标系，设C(－1，0)，B(1，0)，延长CA交Y轴于点D，连结BD，则D点坐标是(0，1) ，那么BD= CD =


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