中考复习专题函数思想与数形结合专题复习教案

【目标】
通过学习、训练，使学生理解和掌握函数思想和数形结合思想并能运用函数思想和数形结合思想解决问题.
【重、难点】
使学生能灵活运用函数思想和数形结合思想解决问题.
【教学过程】
一、题型归析
函数思想是一种对应思想，它是用运动变化的观点来观察问题、分析问题，并借助于函数关系思考解决问题的一种数学思想.数形结合思想就是把数量与图形结合起来进行分析、研究、解决问题的思维策略.在学习中，充分利用问题中所提供的数与形，不失时机地把数的精确性与形的直观性结合起来，（即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性.）可收到意想不到的效果.
二、例题解析
【例1】某商人将进货单价为8元的商品，按每件10元出售时，每天可销售100件，现在他想采取提高售价的办法来增加利润.已知这种商品每提价1元（每件）日销售量就减少10件，请问他的想法能否实现，他把价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？若不能，请说明理由.
【分析】本题是一道实际应用题，解答时，需先将实际问题转化为函数问题来解决.不妨设此人每天获得的利润为y，售价定为x元，则y=(x-8)〔100-10(x-10)〕= -10(x-14)2+360，由二次函数的性质知，当他把价格定为14元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润是360元.
【思路点拨】把此题转化为函数问题后，我们发现求最大利润问题就变成了求二次函数的最值问题，解决起来就简单了.
【例2】某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图1，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：
（1）请提供四条信息；（2）不必求函数的解析．

【分析】本题是一个图像题，仔细观察图像，我们可以得出一系列的信息如：（1）2月份每千克销售价是3．5元；7月份每千克销售价是0．5元；（3）l月到7月的销售价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月上升；（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月，2月与12 月的销售价分别相同．
【思路点拨】本题很好的体现了数形结合思想，解答此题我们正是充分利用问题中所提供的数与形，由直观的形得出了精确的数，从而很好的解决了问题.
【例3】（09 包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量 （件）与销售单价 （元）符合一次函数 ，且 时， ； 时， ． （1）求一次函数 的表达式；
（2）若该商场获得利润为 元，试写出利润 与销售单价 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价 的范围．
【分析】（1）容易求的一次函数的解析式为：y= -x+120
(2)W=(x-60)?(-x+120)= -x2+180x-7200= -(x-90)2+900,要结合图像回答，因为抛物线开口向下，所以当x＜90时，W随x的增大而增大.而60≤x≤87，所以当x =87时，商场获利润最大.
（3）由W=-x2+180x-7200，W=500时得，-x2+180x-7200=500，解得x1=70,x2=110. 由图像知，要使商场获得的利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间.
【思路点拨】本题是一道一次函数和二次函数相结合的题目，对于（2）问转化成二次函数问题之后，要充分利用抛物线得出问题的答案，对于（3）问也要借助图像利用数形结合的思想解答.
【例4】已知如图2，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，AC=5,AB= ，cos∠ACB= ,求过A,B,C三点的抛物线的解析式.
【分析】要求抛物线解析式，需先求A、B、C三点的坐标，由图知，求坐标要先解直角三角形，求出OA、OC、OB的长度，在直角三角形AOC中，由AC=5，cos∠ACB= 求得OA=4,OC=3. 在直角三角形AOB中求得OB=1,结合图形和已知即可写出A、B、C三点的坐标.
【思路点拨】本题要先结合图形求出三条线段的长度，在根据线段长度得出点的坐标时，一定要结合图形，根据点所在的坐标轴或象限写出点的坐标.解答本题也是利用了数形结合思想，正是把形的直观和数的精确有机的结合起来. www.
三、诊断自测
1.若直线y=mx+4，x=l，x=4和x轴围成的直角梯形的面积是7，则m的值是（ ）
A．－12 B．－ 23 C．－32 D．－2
2.某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元，每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y（元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图 3所示，正确的是（ ）
3.（09兰州）二次函数 的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是
A． ＜0 B. ＞0 C. ＞0 D. ＞0


4.如图7，在△ABC中，∠C=90o, AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若∠A=30o，DE=4?，求∠DBC的度数和CD的长.

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