2013年高二下册数学选修1-1(文)试卷

广水一中高二数学选修1-1（文）
第Ⅰ卷（，共50分）
一、(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题是真命题的是（ ）
A、“若 ，则 ”的逆命题； B、“若 ，则 ”的否命题；
C、“若 ，则 ”的逆否命题 D、“若 ，则 ”的逆否命题
2．“ 且 ”是“ ”的 （　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．抛物线 的焦点坐标为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x?f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是(　　)
A．f(1)与f(－1) B．f(－1)与f(1)
C．f(－2)与f(2) D．f(2)与f(－2)
5．函数 的单调递减区间为（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．双曲线 - =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )
A． B． C．2D．
7.已知正方形 的顶点 为椭圆的焦点，顶点 在椭圆上，则此椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
8. 若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是 (　　)
A．(－∞，7] B．(－∞，－20]
C．(－∞，0] D．[－12,7]
9.若直线 和圆 无公共点，则过点 的直线 与椭圆 的公共点的个数为 （ ）
A．至多一个 B．2个 C．1个 D． 0个
10．若椭圆 和双曲线 有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分）
11．双曲线 的实轴长是 .
12.设曲线y＝1＋cosxsinx在点π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于 ;
13.双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与左支相交与于A,B两点，若 ,则 ______.
14.若抛物线顶点为 ，对称轴为 轴，焦点在 上那么抛物线的方程为 ;
15.已知 ： ， ：方程 表示双曲线，若 为真命题，则 的取值范围为 ;
16．命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围是 .
17．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛物线 与双曲线 有相同焦点， 与 在第一象限相交于点 ，且 ，则双曲线 的离心率为 .
三．解答题（本大题共5小题，共65分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。）
18．（12分）
已知命题 ：方程 的图象是焦点在 轴上的椭圆；命题 ： 在 上是单调递增函数；又 为真， 为真，求实数 的取值范围。
19. (12分) 求两条渐近线为 且截直线 所得弦长为 的双曲线方程.
20．（13分）已知函数 的图象过点 ，且在点 处的切线与直线 垂直.
(1)求实数 的值；
（2）求 在 上的最大值；
21．（14分）已知点 是圆 上任意一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ,记点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）设 ，点 、 在曲线 上，且直线 与直线 的斜率之积为 ，求证：直线MN过定点．
22.（14分）已知函数 = ，在 处取得极值2。
（1）求函数 的解析式；
（2） 满足什么条件时，区间 为函数 的单调增区间？
（3）若 为 = 图象上的任意一点，直线 与 = 的图象切于 点，求直线 的斜率的取值范围。
22.解：（1）当 时， ， 由题意得 ，解得 ； --- --3分
（2）由（1），知 ，①当 时， ，由 ，得 ；由 ，得 或 ；所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增。因为 ， ， ，则 在 上的最大值为2.
②当 时， ，当 时， ；当 时， 在 上单调递增；所以 在 上的最大值为 .
故当 时 在 上的最大值为 ；当 时 在 上的最大值为2. ----6分
（3）假设曲线 上存在两点 ， 满足题意，则 ， 只能在 轴两侧，因为 是以O为顶点的直角三角形，所以 ，
不妨设 ，则 ，且 ，即 。（*）
是否存在 ， 等价于方程（*）是否有解。
若 ，则 ，代入方程的（*），得 ，此方程无实数解。当 时，则 ，代入方程的（*），得 ，设 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，从而 ，则 的值域为 。


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