4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在

一、目标：
1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数 ；
2.让学生了解函数的零点与方程根的联系 ；
3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用 ；
4。培养学生动手操作的能力 。
二、重点、难点
重点：零点的概念及存在性的判定；
难点：零点的确定。
三、复习引入
例1:判断方程 x2-x-6=0 解的存在。
分析：考察函数f(x)= x2-x-6, 其
图像为抛物线容易看出，f(0)=-6<0,
f(4)>0,f(-4)>0
由于函数f(x)的图像是连续曲线，因此，
点B (0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线
必然穿过x轴,即在区间(0,4)内至少有点
X1 使f(X1)=0;同样,在区间(-4,0) 内也至
少有点X2,使得f( X2)=0,而方程至多有两
个解，所以在(-4,0),(0,4)内各有一解
定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数 x叫函数y=f(x)的零点
抽象概括
?y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫做该函数的零点,即f(x)=0的解。
?若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。
f(x)=0有实根（等价与y=f(x)）与x轴有交点（等价与）y=f(x)有零点
所以求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点
注意：1、这里所说“若f(a)f(b)<0,则在区间（a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数解”指出了方程f(x)=0的实数解的存在性，并不能判断具体有多少个解；
2、若f(a)f(b)<0,且y=f(x)在（a,b）内是单调的，那么，方程f(x)=0在（a,b）内有唯一实数解；
3、我们所研究的大部分函数，其图像都是连续的曲线；
4、但此结论反过来不成立，如：在[-2，4]中有根，但f(-2)>0, f(4)> 0，f(-2) f(4) >0；
5、缺少条件在[a,b]上是连续曲线则不成立，如：f(x)=1/ x，有f(-1)xf(1)<0但没有零点。
四、知识应用
例2:已知f(x)=3x-x2 ,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内没有实数解?为什么?
解：f(x)=3x-x2的图像是连续曲线, 因为
f(-1)=3-1-(-1)2 =-2/3<0, f(0)=30-(0)2 =-1>0,
所以f(-1) f(0) <0,在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解
练习：求函数f(x)=lnx+2x-6 有没有零点？
例3　判定(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且有一个大于５，一个小于２。
解：考虑函数f(x)=(x-2)(x-5)-1,有
　　 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1
f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1
又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，所以抛物线与横轴在（５，＋∞）内有一个交点，在（ -∞,2)内也有一个交点，所以方程式(x-2)(x-5)=1有两个相异数解，且一个大于５，一个小于２。
练习：关于x的方程2x2-3x+2m=0有两个实根均在[-1，1]内，求m的取值范围。

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