课时作业(十六) [第16讲 导数与函数的综合问题]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．若函数y＝－43x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
2．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．
3．方程2x3＋7＝6x2在(0,2)内的实根个数为________．
4．下列不等式在(0，＋∞)上恒成立的是________．(填序号)
①lnx>x；②sinx>x；③tanx>x；④ex>x＋1.
能力提升
5．当x≠0时，a＝ex，b＝1＋x，则a，b的大小关系是________．
6．方程x3－6x2＋9x－4＝0的实根的个数为________．
7．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是________．
图K16－1
8．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是________．
9．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
10．[2014?镇江统考] 已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2＋2)
11．[2014?南通模拟] 已知函数g(x)＝1sinθ?x＋lnx在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，则θ的值为________．
12．[2014?海安检测] 已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝30.3?f(30.3)，b＝logπ3?f(logπ3)，c＝log319?flog319，则a，b，c的大小关系是________．
13．(8分)已知函数f(x)＝14x4＋x3－92x2＋cx有三个极值点．证明：－27
14．(8分)已知函数f(x)＝alnxx＋1＋bx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)证明：当x>0且x≠1时，f(x)>lnxx－1.
15．(12分)[2014?苏南联考] 已知函数f(x)＝lnx＋1x－1.
(1)求函数的定义域，并证明f(x)＝lnx＋1x－1在定义域上是奇函数；
(2)若x∈[2,6]，f(x)>lnm?x－1??7－x?恒成立，求实数m的取值范围．
16．(12分)已知函数f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x.
(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求a的取值范围；
(3)若方程f(x)＝g(x)＋m有惟一解，试求实数m的值．
课时作业(十六)
【基础热身】
1．(0，＋∞) [解析] y′＝－4x2＋b，函数有三个单调区间，即y′值有正、有负，则b>0.
2.13，＋∞ [解析] y′＝3x2＋2x＋m，因为函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，故Δ＝4－4×3m≤0，从而m≥13.
3．1 [解析] 设f(x)＝2x3－6x2＋7，则f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
因为x∈(0,2)，所以有f′(x)<0，所以f(x)在(0,2)内单调递减，
又f(0)＝7>0，f(2)＝－1<0，
所以在(0,2)内存在惟一的x0，使f(x0)＝0，
因此，方程2x3＋7＝6x2在(0,2)内的实根个数为1.
4．③④ [解析] 当x＝1时，①，②不成立；对于③，设f(x)＝tanx－x，则f′(x)＝1cos2x－1＝1－cos2xcos2x＝sin2xcos2x≥0，因此f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)min>f(0)＝0，符合题意；对于④，令f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，在(0，＋∞)上f(x)是增函数，故f(x)min>f(0)＝0，符合题意．
【能力提升】
5．a>b [解析] 设y＝ex－1－x，∴y′＝ex－1，∴x>0时，函数y＝ex－1－x是递增的；x<0时，
函数y＝ex－1－x是递减的，∴x＝0时，y有最小值0.故x≠0时，y>0，即a>b.
6．2 [解析] 令f(x)＝x3－6x2＋9x－4，则f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．
由f′(x)>0得x>3或x<1；由f′(x)<0得1
∴f(x)的单调增区间为(3，＋∞)，(－∞，1)，单调减区间为(1,3)，∴f(x)在x＝1处取极大值，在x＝3处取极小值，
又∵f(1)＝0，f(3)＝－4<0，∴函数f(x)的图象与x轴有两个交点，即方程x3－6x2＋9x－4＝0有两个实根．
7．③④ [解析] 导函数的图象为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此③、④不正确．
8．m<0 [解析] y′＝ex＋m，由条件知ex＋m＝0有实数解，∴m＝－ex<0.
9．－2
0且－2＋a<0，因此－210．(1,2) [解析] 由f(x)＝lnx＋2x?f′(x)＝1x＋2xln2>0(x∈(0，＋∞))，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x2＋2)11.π2 [解析] 由题意，g′(x)＝－1sinθ?x2＋1x≥0在[1，＋∞)上恒成立，即sinθ?x－1sinθ?x2≥0.
∵θ∈(0，π)，∴sinθ>0.故sinθ?x－1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
只需sinθ?1－1≥0，即sinθ≥1，只有sinθ＝1.结合θ∈(0，π)，得θ＝π2.
12．c>a>b [解析] 令g(x)＝xf(x)，则由于f(x)是R上的奇函数，所以g(x)为R上的偶函数，又当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，即g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，故当x∈(－∞，0)时，g(x)单调递减，从而g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又由于2>30.3>1，logπ3∈(0,1)，log319＝－2，所以g(－2)＝g(2)>g(30.3)>g(logπ3)，即c>a>b.
13．[解答] 证明：因为函数f(x)＝14x4＋x3－92x2＋cx有三个极值点，
所以f′(x)＝x3＋3x2－9x＋c＝0有三个互异的实根．
设g(x)＝x3＋3x2－9x＋c，
则g′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)，
当x<－3时，g′(x)>0，g(x)在(－∞，－3)上为增函数；
当－3当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上为增函数．
所以函数g(x)在x＝－3时取极大值，在x＝1时取极小值．
因为g(x)＝0有三个不同实根，所以g(－3)>0且g(1)<0.
即－27＋27＋27＋c>0且1＋3－9＋c<0，
解得c>－27且c<5，故－2714．[解答] (1)∵f′(x)＝ax＋1x－lnx?x＋1?2－bx2，由题意知：f?1?＝1，f′?1?＝－12，即b＝1，a2－b＝－12，
∴a＝b＝1.
(2)证明：由(1)知f(x)＝lnxx＋1＋1x，
所以f(x)－lnxx－1＝11－x22lnx－x2－1x.
设h(x)＝2lnx－x2－1x(x>0)，则h′(x)＝－?x－1?2x2.
当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，
故当x∈(0,1)时，h(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.得11－x2h(x)>0，
从而，当x>0且x≠1时，f(x)－lnxx－1>0，即f(x)>lnxx－1.
15．[解答] (1)由x＋1x－1>0，解得x<－1或x>1，
∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
f(－x)＝ln－x＋1－x－1＝lnx－1x＋1＝lnx＋1x－1－1＝－lnx＋1x－1＝－f(x)，
∴f(x)＝lnx＋1x－1在定义域上是奇函数．
(2)由x∈[2,6]时，f(x)>lnm?x－1??7－x?恒成立，
∴x＋1x－1>m?x－1??7－x?>0，x∈[2,6]，
∴0令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－x2＋6x＋7，x∈[2,6]，
令g′(x)≥0，即－2x＋6≥0，得x≤3；
令g′(x)<0，即－2x＋6<0，得x>3.
故x∈[2,3]时函数单调递增，x∈[3,6]时函数单调递减，
x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，
∴016．[解答] (1)因为f′(x)＝2x－8x，所以切线的斜率k＝f′(1)＝－6，
又f(1)＝1，故所求切线方程为y－1＝－6(x－1)，即y＝－6x＋7.
(2)因为f′(x)＝2?x＋2??x－2?x，又x>0，所以
当x>2时，f′(x)>0；
当0即f(x)在(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，
又g(x)＝－(x－7)2＋49，所以g(x)在(－∞，7)上递增，在(7，＋∞)上递减，
欲f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，则a≥2，a＋1≤7，解得2≤a≤6.
(3)原方程等价于2x2－8lnx－14x＝m，令h(x)＝2x2－8lnx－14x，则原方程即为h(x)＝m.
因为当x>0时原方程有惟一解，所以函数y＝h(x)与y＝m的图象在y轴右侧有惟一的交点．
又h′(x)＝4x－8x－14＝2?x－4??2x＋1?x，且x>0，所以当x>4时，h′(x)>0；当0即h(x)在(4，＋∞)上递增，在(0,4)上递减．
故h(x)在x＝4处取得最小值，
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