2013高考数学导数与函数的综合问题试题解析汇编

逍遥右脑  2013-10-18 01:07

课时作业(十六) [第16讲 导数与函数的综合问题]
[时间:45分钟 分值:100分]
基础热身
1.若函数y=-43x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是________.
2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是________.
3.方程2x3+7=6x2在(0,2)内的实根个数为________.
4.下列不等式在(0,+∞)上恒成立的是________.(填序号)
①lnx>x;②sinx>x;③tanx>x;④ex>x+1.
能力提升
5.当x≠0时,a=ex,b=1+x,则a,b的大小关系是________.
6.方程x3-6x2+9x-4=0的实根的个数为________.
7.以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是________.
图K16-1
8.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是________.
9.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
10.[2014?镇江统考] 已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2+2)11.[2014?南通模拟] 已知函数g(x)=1sinθ?x+lnx在[1,+∞)上为增函数,且θ∈(0,π),则θ的值为________.
12.[2014?海安检测] 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=30.3?f(30.3),b=logπ3?f(logπ3),c=log319?flog319,则a,b,c的大小关系是________.
13.(8分)已知函数f(x)=14x4+x3-92x2+cx有三个极值点.证明:-2714.(8分)已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)证明:当x>0且x≠1时,f(x)>lnxx-1.
15.(12分)[2014?苏南联考] 已知函数f(x)=lnx+1x-1.
(1)求函数的定义域,并证明f(x)=lnx+1x-1在定义域上是奇函数;
(2)若x∈[2,6],f(x)>lnm?x-1??7-x?恒成立,求实数m的取值范围.
16.(12分)已知函数f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2+14x.
(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求a的取值范围;
(3)若方程f(x)=g(x)+m有惟一解,试求实数m的值.
课时作业(十六)
【基础热身】
1.(0,+∞) [解析] y′=-4x2+b,函数有三个单调区间,即y′值有正、有负,则b>0.
2.13,+∞ [解析] y′=3x2+2x+m,因为函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,故Δ=4-4×3m≤0,从而m≥13.
3.1 [解析] 设f(x)=2x3-6x2+7,则f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
因为x∈(0,2),所以有f′(x)<0,所以f(x)在(0,2)内单调递减,
又f(0)=7>0,f(2)=-1<0,
所以在(0,2)内存在惟一的x0,使f(x0)=0,
因此,方程2x3+7=6x2在(0,2)内的实根个数为1.
4.③④ [解析] 当x=1时,①,②不成立;对于③,设f(x)=tanx-x,则f′(x)=1cos2x-1=1-cos2xcos2x=sin2xcos2x≥0,因此f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(x)min>f(0)=0,符合题意;对于④,令f(x)=ex-x-1,f′(x)=ex-1,在(0,+∞)上f(x)是增函数,故f(x)min>f(0)=0,符合题意.
【能力提升】
5.a>b [解析] 设y=ex-1-x,∴y′=ex-1,∴x>0时,函数y=ex-1-x是递增的;x<0时,
函数y=ex-1-x是递减的,∴x=0时,y有最小值0.故x≠0时,y>0,即a>b.
6.2 [解析] 令f(x)=x3-6x2+9x-4,则f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).
由f′(x)>0得x>3或x<1;由f′(x)<0得1∴f(x)的单调增区间为(3,+∞),(-∞,1),单调减区间为(1,3),∴f(x)在x=1处取极大值,在x=3处取极小值,
又∵f(1)=0,f(3)=-4<0,∴函数f(x)的图象与x轴有两个交点,即方程x3-6x2+9x-4=0有两个实根.
7.③④ [解析] 导函数的图象为抛物线,其变号零点为函数的极值点,因此③、④不正确.
8.m<0 [解析] y′=ex+m,由条件知ex+m=0有实数解,∴m=-ex<0.
9.-20且-2+a<0,因此-210.(1,2) [解析] 由f(x)=lnx+2x?f′(x)=1x+2xln2>0(x∈(0,+∞)),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x2+2)11.π2 [解析] 由题意,g′(x)=-1sinθ?x2+1x≥0在[1,+∞)上恒成立,即sinθ?x-1sinθ?x2≥0.
∵θ∈(0,π),∴sinθ>0.故sinθ?x-1≥0在[1,+∞)上恒成立,
只需sinθ?1-1≥0,即sinθ≥1,只有sinθ=1.结合θ∈(0,π),得θ=π2.
12.c>a>b [解析] 令g(x)=xf(x),则由于f(x)是R上的奇函数,所以g(x)为R上的偶函数,又当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,即g′(x)=f(x)+xf′(x)<0,故当x∈(-∞,0)时,g(x)单调递减,从而g(x)在(0,+∞)上单调递增.
又由于2>30.3>1,logπ3∈(0,1),log319=-2,所以g(-2)=g(2)>g(30.3)>g(logπ3),即c>a>b.
13.[解答] 证明:因为函数f(x)=14x4+x3-92x2+cx有三个极值点,
所以f′(x)=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实根.
设g(x)=x3+3x2-9x+c,
则g′(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1),
当x<-3时,g′(x)>0,g(x)在(-∞,-3)上为增函数;
当-3当x>1时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上为增函数.
所以函数g(x)在x=-3时取极大值,在x=1时取极小值.
因为g(x)=0有三个不同实根,所以g(-3)>0且g(1)<0.
即-27+27+27+c>0且1+3-9+c<0,
解得c>-27且c<5,故-2714.[解答] (1)∵f′(x)=ax+1x-lnx?x+1?2-bx2,由题意知:f?1?=1,f′?1?=-12,即b=1,a2-b=-12,
∴a=b=1.
(2)证明:由(1)知f(x)=lnxx+1+1x,
所以f(x)-lnxx-1=11-x22lnx-x2-1x.
设h(x)=2lnx-x2-1x(x>0),则h′(x)=-?x-1?2x2.
当x≠1时,h′(x)<0,而h(1)=0,
故当x∈(0,1)时,h(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0.得11-x2h(x)>0,
从而,当x>0且x≠1时,f(x)-lnxx-1>0,即f(x)>lnxx-1.
15.[解答] (1)由x+1x-1>0,解得x<-1或x>1,
∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,
f(-x)=ln-x+1-x-1=lnx-1x+1=lnx+1x-1-1=-lnx+1x-1=-f(x),
∴f(x)=lnx+1x-1在定义域上是奇函数.
(2)由x∈[2,6]时,f(x)>lnm?x-1??7-x?恒成立,
∴x+1x-1>m?x-1??7-x?>0,x∈[2,6],
∴0令g(x)=(x+1)(7-x)=-x2+6x+7,x∈[2,6],
令g′(x)≥0,即-2x+6≥0,得x≤3;
令g′(x)<0,即-2x+6<0,得x>3.
故x∈[2,3]时函数单调递增,x∈[3,6]时函数单调递减,
x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7,
∴016.[解答] (1)因为f′(x)=2x-8x,所以切线的斜率k=f′(1)=-6,
又f(1)=1,故所求切线方程为y-1=-6(x-1),即y=-6x+7.
(2)因为f′(x)=2?x+2??x-2?x,又x>0,所以
当x>2时,f′(x)>0;
当0即f(x)在(2,+∞)上递增,在(0,2)上递减,
又g(x)=-(x-7)2+49,所以g(x)在(-∞,7)上递增,在(7,+∞)上递减,
欲f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,则a≥2,a+1≤7,解得2≤a≤6.
(3)原方程等价于2x2-8lnx-14x=m,令h(x)=2x2-8lnx-14x,则原方程即为h(x)=m.
因为当x>0时原方程有惟一解,所以函数y=h(x)与y=m的图象在y轴右侧有惟一的交点.
又h′(x)=4x-8x-14=2?x-4??2x+1?x,且x>0,所以当x>4时,h′(x)>0;当0即h(x)在(4,+∞)上递增,在(0,4)上递减.
故h(x)在x=4处取得最小值,


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