江苏省2013年高考数学试卷

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。
1、函数 的最小正周期为 ▲
2、设 （ 为虚数单位），则复数 的模为 ▲
3、双曲线 的两条渐近线的方程为 ▲
4、集合 共有 ▲ 个子集
5、右图是一个算法的流程图，则输出的 的值是 ▲ （流程图暂缺）
6、抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员第一次第二次第三次第四次第五次
甲8791908993
乙8990918892
则成绩较为稳定（方程较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲
7、现在某类病毒记作 ，其中正整数 ， （ ， ）可以任意选取，
则 都取到奇数的概率为 ▲
8、如图，在三棱柱 中， 分别是
的中点，设三棱锥 的体积为 ，三棱柱 的体
积为 ，则 ▲
9、抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 （包含
三角形内部和边界）。若点 是区域 内的任意一点，则 的取值范围是 ▲
10、设 分别是 的边 上的点， ， ，
若 （ 为实数），则 的值为 ▲
11、已知 是定义在 上的奇函数。当 时， ，则不等式 的解
集用区间表示为 ▲
12、在平面直角坐标系 中，椭圆 的标准方程为 ，右焦点为 ，
右准线为 ，短轴的一个端点为 ，设原点到直线 的距离为 ， 到 的距离为 ，
若 ，则椭圆 的离心率为 ▲
13、在平面直角坐标系 中，设定点 ， 是函数 （ ）图象上一动点，
若点 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为 ▲
14、在正项等比数列 中， ， ，则满足 的
最大正整数 的值为 ▲
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分14分）
已知 ， 。
（1）若 ，求证： ；
（2）设 ，若 ，求 的值。
16、（本小题满分14分）
如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，
， ，过 作 ，垂足为 ，
点 分别是棱 的中点。
求证：（1）平面 平面 ；
17、（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 。
设圆 的半径为 ，圆心在 上。
（1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，
求切线的方程；
（2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐
标 的取值范围。
18、（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径。一种是从 沿直线步行到 ，另一种是先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直线步行到 。现有甲、乙两位游客从 处下山，甲沿 匀速步行，速度为 。在甲出发 后，乙从 乘缆车到 ，在 处停留 后，再从匀速步行到 。假设缆车匀速直线运动的速度为 ，山路 长为 ，经测量， ， 。
（1）求索道 的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟，
乙步行的速度应控制在什么范围内？
19、（本小题满分16分）
设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， 是其前 项和。记 ， ，
其中 为实数。
（1）若 ，且 成等比数列，证明： （ ）；
（2）若 是等差数列，证明： 。
20、（本小题满分16分）
设函数 ， ，其中 为实数。
（1）若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取值范围；
（2）若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论。


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