江西省重点中学2015-2016学年高二（课改班）上学期第二次月考数

2015.12.5一．选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.）1.下列求导运算正确的是（ ）A．(x+ B．(log2x)′= C．(3x)′=3xlog3e D． (x2cosx)′=-2xsinx 2．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2是平面，给出下列命题：①若；②若；③若；④若a与b异面，且相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直。其中真命题的个数是（ ）A．1B．2C．3D．44．如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝A．B．C．－1D．＋1 B．C． D．6．若命题“存在xR,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是A. [－22 ] B. [－22 ] C. [－ ] D.(－22)7．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等则动点P的轨迹所在的曲线是A．直线 B．圆C．抛物线D．双曲线的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A．3B．2C．1D．09．已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为（ ）若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）A．①②③B。③④C．．②③D．②③④设p：4x－3≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．________．13．设00)上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A,B．（Ⅰ）当M的坐标为（0，－l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；Ⅱ）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA ⊥MB若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由21．（本小题14分）已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C.求曲线C的方程；过点D（0，－2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l， 使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由(x+ B．(log2x)′= C．(3x)′=3xlog3e D． (x2cosx)′=-2xsinx （2）观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是(　　)．A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C． n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2是平面，给出下列命题：若；②若；③若；④若a与b异面，且相交； ⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直. 其中真命题的个数是( A )A．1B．2C．3D．4(4)如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝(　　)．A.B.C.－1D.＋1(5)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是 ( D )A．B．C．D．(6)若命题“存在xR,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是－22 ]. B. [－22 ] C. [－ ] D.(－22)(7)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是A． 直线 B． 圆C线D线的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是( B )A．3B．2C．1D．0(9)已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为（ D ） A.3 B. C. D.2(10)若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有（ C ）A．①②③B。③④C．．②③D．②③④ 设p：4x－3≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_]_______．________．俯视图（13）设00，将点C(7,9)代入z得最大值为21.(4分)(2)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是MN2＝.(8分)(3)z＝2×表示可行域内任一点(x，y)与定点Q连线的斜率的两倍，因此kQA＝，kQB＝，故z的范围为.(12分)(12分)的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为. （Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （Ⅱ）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.18. (12分) 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….(1)求a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明．解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是2－a2－a2＝0，解得a2＝.(2)由题设知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即S2n－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.(*)由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.由(*)式可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，….下面用数学归纳法证明这个结论．①n＝1时已知结论成立．②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，由 (*)得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．综上，由①、②可知Sn＝对所有正整数n都成立．(12分)S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N-CM-B的大小是arctan2.（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，∴S△CMN=CM?NF=，S△CMB=BM?CM=2.设点B到平面CMN的距离为h，∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN?h=S△CMB?NE，∴h==.即点B到平面CMN的距离为.解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），∵?=（-4，0，0）?（0，2，2）=0，∴AC⊥SB.（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0）=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则 ?n=3x+y=0， 取z=1，则x=，y=-，∴n=(，-，1)，?n=-x+z=0， 又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， ∴cos(n，)==.∴二面角N-CM-B的大小为arccos.（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（-1，，0），n=（，-，1）为平面CMN的一个法江西省重点中学2015-2016学年高二（课改班）上学期第二次月考数学试题
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