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专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第三讲 函数与方程及函数的实际应用
【最新考纲透析】
1．函数与方程
（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
（2）根据 具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。
2．函数模型及其应用
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
【核心要点突破】
要点考向一：函数零点问题
考情聚焦：1.函数的零点是新课标的新增内容,其实质是相应方程的根,而方程是高考重点考查内容, 因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.
2.常与函数的图象、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查。
考向链接：1.函数零点（方程的根）的确定问题，常见的类型有（1）零点或零点存在区间的确定；（2）零点个数的确定；（3）两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方 程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。
2．函数零点（方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。
例1：（2010?福建高考文科?Ｔ7）函数 的零点个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【命题立意】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。
【思路点拨】作出分段函数的图像，利用数形结合解题。
【规范解答】选C， ，绘制出图像大致如右图，所以零点个数为2。
【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解。
令 ，则
（1）当 时， ， 或 （舍去）；
（2）当 时， ，
综上述：函数 有两个零点。
要点考向二：用二分法求函数零点近似值
考情聚焦：1.该考向虽然在近几年新课标高考中从未涉及,但由于二分法是求方程根的近似值的重要方法,其又是新课标新增内容,预计在今后的新课标高考中可能会成为新的亮点.
2.该类问题常与函数的图象、性质交汇命题，考查学生的探究和计算能力。
考向链接：用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间[a,b]，验证f(a)?f(b)<0,给定精确度 ；（2）求区间(a,b)的中点 ；（3）计算f( );
①当f( )=0,则 就是函数的零点；
②若f(a)?f( )<0,则令b= (此时零点 )，
③若f( )?f(b)<0,则令a= (此时零点 )。
(4)判断是否达到其精确度 ，则得零点近似值，否则重复以上步骤。
例2：已知函数
（1）求证函数 在区间[0，1]上存在惟一的极值点。
（2）用二分尖求函数取得极值时相应 的近似值。（误差不超过0.2;参数数据 ）
【思路解析】求导数→ → 在[0,1]上单调→得出结论→取初始区间→用二分法逐次计算→得到符合误差的近似值.
【解答】
（2）取区间 [0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：
区间中点坐标中点对应导数值取值区间
[0，1]1
[0，0.5]0.5
[0.25,0.5]0.25
由上表可知区间[0.25,0.5]的长度为0.25,所以该区间的中点 ,到区间端点距离小于0.2,因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应 的值.
函数 取得极值时,相应
要点考向二：函数的实际应用
考情聚焦：1.函数的实际应用历年来一直是高考的热点，考查现实生活中的热点问题，如生产经营，环境保护，工程建设等相关的增长率、最优化问题。
2．常用导数、基本不等式、函数的单调性等重要知识求解。
例3：（2010?湖北高考理科?Ｔ17）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度 （单位：cm）满足关系： ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求 的值及 的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值．
【命题立意】本题主要考查由实际问题求函数解析式、利用导数求函数最值，考查考生的阅读理解及运算求解能力．
【思路点拨】 的表达式 的最小值
【规范解答】（Ⅰ）设隔热层厚度 cm，由题意建筑物每年的能源消耗费用为 ，再由 得 ，故 ；又 厘米厚的隔热层建造费用为 ，所以由题意 = + = + 。
（Ⅱ） ，令 0
得 （舍去），当 时， ，当 时， ，故 时 取得最小值，且最小值 = =70
.因此当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小，且最小值为70万元。
【方法技巧】解 函数应用题的第一关是：正确理解题意，将实际问题的要求转化为数学语言，找出函数关系式，注明函数定义域；第二关是：针对列出的函数解析式按题目要求，选择正确的数学思想将其作为一个纯数学问题进行解答。
【高考真题探究】
1．（2010上海文数）17.若 是方程式 的解，则 属于区间 [答]（ ）
（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）
解析：
知 属于区间（1.75，2）
2．（2010天津理数）（2）函数f(x)= 的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
【答案】B
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
由 及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
3．（2010福建文数）21．(本小题满分12分)
某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 北偏西30°且与该港口相距20海里的 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 小时与轮船相遇。
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(Ⅲ)是否存在 ，使得小艇以 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 的取值范围；若不存在，请说明理由。
21.本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。
解法一：
设相遇时小艇的航行距离为S海里，则
于是
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程 应有两个不等正根，即：
解法二：
（I）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在C处相遇。
则在Rt?OAC中，OC=20cos300=10- ,AC=30t,OC=vt.此时，轮船航行时间t= , 。即，小艇以30 海里/小时的速度航行时，相遇时小船的航行距离最小。
【跟踪模拟训练】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1. 若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确度0.1)为( )
(A)1.25(B)1.375(C)1.437 5 (D)1.5
2．对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间（a,b)内( )
(A)一定有零点
(B)一定没有零点
(C)可能有两个零点
(D)至多有一个零点
3．如图，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，l为公路，图中所示线段为道路，ABQP，BCRQ，CDSR近似于正方形，已知A，B，C，D四个采煤点每天的采煤量之比约为3∶2∶1∶5,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P，Q，R，S中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在( )
(A)P(B)Q(C)R(D)S
4． 已知函数
若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
(A)（-∞，0］ (B)(-∞,1)
(C)［0,1］ (D)［0,+∞)
5．若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=( )
（A） （B）3 （C） （D）4
6．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）.那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )
(A)在t1时刻，甲车在乙车前面
(B)t1时刻后，甲车在乙车后面
(C)在t0时刻，两车的位置相同
(D)t0时刻后，乙车在甲车前面
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0，各种方案的运煤总量Q与时间t的函数关系如下图所示.在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是_________.（填写所有正确的图象的编号）
8.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为______.
9.关于x的方程cos2x-sinx+a=0在(0, ］上有解，则a的取值范围为_____.
三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)
10.已知函数f(x)=4x+m?2x+1有且只有一个零点，求实数m的取值范围，并求出零点.
11.某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台.当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a台;根据市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0
（1）写出月利润y(元)与x的函数关系式；
（2）试确定笔记本电脑的销售价，使得电脑企业的月利润最大.
12.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间［-1,4］上的最大值是12.
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在自然数m，使得方程f(x)+ =0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【解析】选C.根据题意知函数的零点在
1.406 25至1.437 5之间，
因为此时1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.437 5.
2．【解析】选C.由于f(a)>0,f(b)>0，且抛物线开口向上，所以可能有两个零点.
3．【解析】选C.设正方形边长为a，采煤量比例系数为x，费用比例系数为k,对于A，中转站选在P点时，费用y1=3kxa+4kxa+3kxa
+20kxa=30kxa;对于B，中转站选在Q点时，费用y2=6kxa+2kxa+
2kxa+15kxa=25kxa;对于C，中转站选在R点时，费用y3=9kxa+
4kxa+kxa+10kxa=24kxa;对于D，中转站选在S点时，费用
y4=12kxa+6kxa+2kxa+5kxa=25kxa.而24kxa<25kxa< 30kxa，故选C.
4．【解析】选B.在同一坐标系内画出函数y=f(x)和y=x+a的图象.由图可知a<1.
5．【解析】选C.∵2x+2x=5?2x=5-2x,
2x+2log2(x-1)=5?2log2(x-1)=5-2x.
∴可抽象出三个函数y=2x,y=2log2(x-1),y=5-2x, 在同一坐标系中分别作出它们的图象（如图所示）.
观察知：
6．【解析】选A.由图象可知，速度图象与t轴围成的面积表示汽车行驶的位移，在t0时刻，甲车的位移大于乙车的位移，故在t0时刻甲车应在乙车的前面，且t0时刻两车速度相同，故C、D不对，t1时刻甲车的位移大于乙车的位移，故A对.
7．【解析】由于要求运煤效率逐步提高，因此反映到图象上各点处的切线的斜率即导数应逐渐增大，而只有②符合.
答案：②
8．【解析】令f(x)=x3-2x-1,
显然f(1)＜0,f(2)＞0,
又
答案：( ,2)
9．【解析】原方程可化为a=sin2x+sinx-1，方程有解当且仅当a属
于函数y=sin2x+sinx-1的值域时，而y=sin2x+sinx-1=(sinx+ )2- ,∵x∈(0, ]，∴sinx∈(0,1］.可求得值域为(-1,1］,即a的取值范围是(-1,1］.
答案：(-1,1］
10．【解析】由题 知：方程4x+m?2x+1=0只有一个零点.
令2x=t(t>0),
∴方程t2+m?t+1=0只有一个正根，
∴由图象可知，
当m=-2时t=1,∴x=0.
∴函数的零点为x=0.
11．【解析】（1）依题意，销售价提高后为6 000(1+x)元/台，月销售量为a(1-x2)台，
则y=a(1-x2)［6 000(1+x)-4 500］
即y=1 500a(-4x3-x2+4x+1)(0
（2)y′= 1500a(-12x2-2x+4)，
令y′=0,得6x2+x-2=0,
解得，x=1/2,x=-2/3(舍去).
当0
0;当1/2＜x＜1时，y’＜0.
当x=1/2时，y取得最大值。
此时销售价为6000×（3/2）=9000元.
答：笔记本电脑的销售价为9 000元时，电脑企业的 月利润最大.
12．【解析】（1）∵f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0,5)，
∴可设f(x)=ax(x-5)(a>0)，
∴f(x)在区间［- 1,4］上的最大值是f(-1)=6a.
由已知，得6a=12，
∴a=2,∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).
【备课资源】
1. 定义域和值域均为［-4,4］的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示，下列命题正确的是( )
(A)方程f(g(x))=0有且仅有三个根
(B)方程g(f(x ))=0有且仅有三个根
(C)方程f(f(x))=0有且仅有两个根
(D)方程g(g(x))=0有且仅有两个根
【解析】选A.由于f(x)=0有3个根，且g(x)∈［-4,4］，则f(g(x))=0有且仅有三个根.
2. 已知a是使表达式2x+1>42-x成立的最小整数，则方程1-2x-1=ax-1实数根的个数为( )
(A)0(B)1(C)2(D)3
3.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解，则a∈_____.
【解析】令f(x)=2ax2-x-1,由题意 知：
f(0)?f(1)<0,∴(-1)?(2a-2)<0,∴a>1.
答案：(1,+∞)
6.设 为实数，已知函数
（1）当 =1时，求函数 的极值。
（2）若方程 =0有三个不等实数根，求 的取值范围。
（2）因为f′(x)=x2-2ax+(a2-1)=［x-(a-1)］［x-(a+1)］,所以方程f′(x)=0的两根为a-1和a+1，
显然，函数f(x)在x=a-1处取得极大值，在x=a+1处取得极小值.因为方程f(x)=0有三个不等实根，
解得-2故a的取值范围是(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2).
7.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0.
(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；
(2)试求方程f(x)=0在闭区间［-2 009, 2 009］上的根的 个数，并证明你的结论.
【解析】(1)由已知得f(0)≠0，故f(x)不是奇函数，
又f(-1)=f(5)≠0,故y轴不是函数y=f(x)的对称轴，即f(x)不是偶函数.
综上知，函数y=f(x)既不是奇 函数又不是偶函数.
又f(3)=f(1)=0,
∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.
故f(x)在［0,10］和［-10,0］上均有2个根，从而可知函数y=f(x)在［0,2 000］上有400个根，在［2 000,2 009］上有2个根，在［-2 000,0］上有400个根，在［-2 009,-2 000］上有2个根.
所以函数y=f(x)在［-2 009,2 009］上有804个根.
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