第4讲 不等式
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一、填空题
1．(2011?广东改编)不等式2x2－x－1>0的解集是____________________．
2．(2011?上海)不等式x＋1x≤3的解集为____________．
3．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的________条件．
4．不等式x2－4>3x的解集是____________．
5．已知正数x，y满足x2＋y2＝1，则1x＋1y的最小值为________．
6．设命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；命题乙：0
7．(2011?浙江)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
8．设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0，则当yx>37时，实数x，y满足的不等式组为____________．
9．设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是________．
10．若关于x的不等式(2x－1)2
11．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12恒成立，则a的最小值是________．
12．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是______(写出所有正确命题的序号)．
①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；
④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.
二、解答题
13．已知二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，不等式f(x)<0的解集为A.
(1)求集合A；
(2)设集合B＝{xx＋4
14.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
15．已知函数f(x)＝13ax3－14x2＋cx＋d(a，c，d∈R)满足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．
(1)求a，c，d的值；
(2)若h(x)＝34x2－bx＋b2－14，解不等式f′(x)＋h(x)<0.
答 案
1．(－∞，－12)∪(1，＋∞) 2.xx≥12或x<0
3．必要不充分 4．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
5．22 6．必要不充分
7.233 8.3x－7y<0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0
9．4 10.259，4916 11．－52 12．①③⑤
13．解 (1)二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，所以，a>0，由f(x)<0，
解得A＝－1a，0.
(2)解得B＝(－a－4，a－4)，
因为集合B是集合A的子集，
所以－1a≤－a－4，a－4≤0，
－2－5≤a≤－2＋5，a≤4，
解得0
14．解 设每间虎笼的长、宽分别为x m、y m．则s＝xy.
(1)由题意知：4x＋6y＝36，
∴2x＋3y＝18.
又2x＋3y≥26xy，
∴xy≤(2x＋3y)224＝18224＝272，
当且仅当2x＝3y＝9，即x＝4.5，y＝3时，s＝xy最大，
∴每间虎笼的长为4.5 m，宽为3 m时，每间虎笼面积最大．
(2)由题意知xy＝24，
4x＋6y≥224?xy＝48，
当且仅当4x＝6y时，取得等号成立．
由4x＝6yxy＝24得x＝6，y＝4，
∴每间虎笼的长为6 m，宽为4 m时，
可使钢筋网总长最小．
15．解 (1)∵f(0)＝0，∴d＝0，
∵f′(x)＝ax2－12x＋c.
又f′(1)＝0，∴a＋c＝12.
∵f′(x)≥0在R上恒成立，
即ax2－12x＋c≥0恒成立，
∴ax2－12x＋12－a≥0恒成立，
显然当a＝0时，上式不恒成立．
∴a≠0，
∴a>0，(－12)2－4a(12－a)≤0，即a>0，a2－12a＋116≤0，即a>0，(a－14)2≤0，
解得：a＝14，c＝14.
(2)∵a＝c＝14.
∴f′(x)＝14x2－12x＋14.
f′(x)＋h(x)<0，即14x2－12x＋14＋34x2－bx＋b2－14<0，
即x2－(b＋12)x＋b2<0，
即(x－b)(x－12)<0，
当b>12时，解集为(12，b)，
当b<12时，解集为(b，12)，
当b＝12时，解集为 .
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