2012届高考数学备考复习直线与圆教案

专题五：解析几何

【备考策略】
根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时，要注意以下几个方面：
1．直线的倾斜角、斜率及它们间的关系。
2．两直线平行与垂直的充要条件。
3．点到直线的距离、两平行线间的距离。
4．圆的方程（标准方程和一般方程）。
5．直线与圆的位置关系。
6．椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质。
7．直线和圆锥曲线的位置关系，同时常与平面向量、数列、不等式结合，且每年必考。
第一讲 直线与圆

【最新考纲透析】
1．直线与方程
（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。
（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
2．圆与方程
（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。
（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。
（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
3．空间直角在系
（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
（2）会推导空间两点间的距离公式。

【核心要点突破】
要点考向1：直线的倾斜角、斜率、距离问题
考情聚焦：1．直线的倾斜角、斜率、距离问题是最基本问题，是高考中常考的知识。
2．该类问题常与平面向量结合，体现知识的交汇。
3．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。
考向链接：1．直线 的倾斜角和斜率反映了直线的倾斜程度。已知斜率求倾斜角时，通常可以结合正切函数的图象求解，要注意当斜率的取值范围有正有负时，倾斜角是分段的，如直线斜率的范围是[-1，1]，则倾斜角的取值范围是 ，而不是
2．对于距离要熟记有关公式，并能灵活运用。
例1：若直线 被两平行线 所截得的线段的长为 ，则 的倾斜角可以是：
① ② ③ ④ ⑤
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
【解析】两平行线间的距离为 ，由图知直线 与 的夹角为 ， 的倾斜角为 ，所以直线 的倾斜角等于 或 。故填写① ⑤
答案:①⑤
要点考向2：两直线的位置关系
考情聚焦：1．两直线的位置关系——平行或垂直是高考考查的重点内容。
2．多以选择题、填空题的形式呈现，属容易题。
考向链接：两条直线 和 平行充要条件为 且 垂直的充要条件为 0，要熟练掌握这一条件。判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况。
例2：（2010?安徽高考文科?Ｔ4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0
【命题立意】本题主要考查直线平行问题。
【思路点拨】可设所求直线方程为 ，代入点（1，0）得 值，进而得直线方程。
【规范解答】选A，设直线方程为 ，又经过 ，故 ，所求方程为 ，
要点考向3：圆的方程
聚焦考情：1．圆的方程及求法是很重要的一类问题，是高考中的必考内容。
2．各种题型均可出现，属中低档题。
考向链接：求圆的方程一般有两类方法：（1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；（2）代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数。其一般步骤是：
①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；
②利用条件列出关于 的方程组；
③解出 ，代入标准方程或一般方程。
此外，根据条件，要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量。
例3：(2010?广东高考文科?Ｔ6）若圆心在x轴上、半径为 的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.
【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.
【规范解答】选 设圆心为 ，则 ，解得 ，所以，所求圆的方程为： ，故选 .
要点考向4：直线和圆的位置关系
聚焦考情：1．直线和圆的位置关系是每年必考内容，有时和向量相结合，体现了知识的交汇。
2．考查形式可以是选择题、填空题，也可以是解答题，属中、低档题目。
例4：（2010?重庆高考文科?Ｔ8）若直线 与曲线 ，（ ）有两个不同的公共点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【命题立意】本小题考查直线、圆的方程的基础知识，体现了方程的思想、数形结合的思想及化归与转化的思想.
【思路点拨】先把圆的参数方程化为普通方程，再与直线方程联立方程组，转化为一元二次方程，利用判别式求解；或数形结合法，画出圆的图形，平移直线 观察计算.
【规范解答】选D . （方法一）消去参数 得 ，与 联立方程组，消去 得： ，因为直线与曲线有两个不同的公共点，所以 ，即 ，解得 ；
（方法二）把圆的参数方程代入直线方程得： ，即 ，所以 ，所以 ，
解得 ；
（方法三）如图所示，直线与圆相切之间的情形
符合题意，计算圆心（2，0）到直线 的
距离等于圆半径1，即 ，解得 ，
所以 .
【方法技巧】（1）判别式法:直线与曲线的交点问题转化为方程的解的个数问题；（2）利用三角函数的值域求解；（3）数形结合法.
注：直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d，及半弦长 ，构成直角三角形的关系来处理。

【高考真题探究】
1．（2010 ?海南宁夏高考?理科T15）过点A(4,1)的圆C与直线 相切于点B(2,1)．则圆C的方程为 .
【命题立意】本题主要考察了圆的相关知识，如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键.
【思路点拨】由题意得出圆心既在点 的中垂线上，又在过点B(2,1)且与直线 垂直的直线上，进而可求出圆心和半径.
【规范解答】由题意知，圆心既在过点B(2,1)且与直线 垂直的直线上，又在点 的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线 垂直的直线为 ， 的中垂线为 ，联立方程 ，解得 ，即圆心 ，
半径 ，所以，圆的方程为 .
【答案】
2．（2010?广东高考理科?Ｔ１2）已知圆心在x轴上，半径为 的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是
【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.
【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.
【规范解答】设圆心坐标为 ，则 ，解得 ，又圆心位于 轴左侧，所以 .故圆O的方程为 .
【答案】
3．（2010?山 东高考理科?Ｔ16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线 ： 被圆C所截得的弦长为 ，则过圆心且与直线 垂直的直线的方程为 ．
【命题立意】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】根据弦长及圆心在x轴的正半轴上求出圆心坐标，再根据垂直关系可求直线方程.
【规范解答】由题意，设所求的直线方程为 ，设圆心坐标为 ，则由题意知： ，解得 或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以 ，故圆心坐标为（ 3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有 ，即 ，故所求的直线方程为 .
【答案】
【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.
2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.
4．（2010?山东高考文科?Ｔ１6）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l： 被该圆所截得的弦长为 ，则圆C的标准方程为 .
【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】根据弦长及圆心在x轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径.
【规范解答】设圆心坐标为 ，圆的半径为 ，则由题意知： ，解得 或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以 ，故圆心坐标为（3，0）， 故所求圆的方程为 .
【答案】
【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.
2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.
5．（2010? 湖北高考理科?Ｔ9）若直线 与曲线 有公共点，则b的取值范围是（ ）
A.[ , ]B.[ ,3]
C.[-1, ]D.[ ,3]
【命题立意】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查考生数形结合、运动变化观点的应用和运算求解能力．
【思路点拨】将方程 作等价
变形，然后借助函数图像，利用运动变化的观
点得到直线 在与曲线
有公共点时b的取值范围.
【规范解答】选D. 由图可知当直线 过点（0，3）时b取最大值3；当直线 与圆 相切且切点在圆的下半部分时对应的b取最小值.由 消去y可得 ，由 =0得 或 （舍去）.
6．（2010?江西高考理科?Ｔ８）直线 与圆 相交于M，N两点，若 ，则 的取值范围 是( )
A． B．
C． D．
【命题立意】本题主要考查直线与圆位置关系的判定及利用数形结合法解题的能力.
【思路点拨】方法一：数形结合，利用圆心到直线的距离进行判定.
方法二：联立方程组利用根与系数的关系及弦长公式求解.
【规范解答】选A．（方法1）由题意，若使 ，则圆心到直线的距离 ，即 ，解得 .故选A.
（方法2）设点M,N的坐标分别为 ，将直线方程和圆的方程联立得方程组 ，消去y得 ，
由根与系数的关系得 ，
由弦长公式知 =
，
, ∴ ，即 ，
∴ ，故选A .

【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于( )
(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1
2.夹在两条平行直线l1：3x-4y=0与l2：3x-4y-20=0之间的圆的最大面积为( )
(A)2π (B)4π (C)8π (D)16π
3.已知直线l与直线3x+4y+1=0平行且它们之间的距离为4，如果原点(0，0)位于已知直线与直线l之间，那么l的方程为( )
(A)3x+4y=0(B)3x+4y-5=0
(C)3x+4y-19=0(D)3x+4y+21=0
4.直角坐标平面内,过点P(2,1)且与圆x2+y2=4相切的直线( )
(A)有两条
(B)有且仅有一条
(C)不存在
(D)不能确定
5.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为D(0,1),则直线l的方程为( )
(A)x-y+1=0(B)x+y+1=0
(C)x-y-1=0(D)x+y-1=0
6．(2010 漳州模拟) ．一束光线从点A(－1, 1)出 发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2=1上一点的最短路程是（ ）
A．3 －1 B．2 C．5 D．4

二、填空题(每小题6分，共18分)
7. 已知圆O:x 2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_______.
8.一直线经过点P(1,2),并且与点A(2,3)和B(0,-5)的距离相等,则此直线方程为___________.
9. 过点A( ,1)的直线l将圆C：x2+(y-2)2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k等于_______.
三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)
10.已知直线l1:mx+8y+n=0和直线l2:2x+my-1=0,分别根据下列情况求实数m与n的取值.
(1)l1与l2平行;
(2)l1与l2垂直.
11．（2010安徽名校联考）将圆 向左平移1个单位，再向上移2个单位，得到圆O，直线 与圆O相交于A，B两点，若圆O上存在点C，使 ，求直线 的方程及对应的点C的坐标。
12．已知圆 ： ，设点 是直线 ： 上的两点，它们的横坐标分别是 ，点 在线段 上，过 点作圆 的切线 ，切点为 ．
（1）若 ， ，求直线 的方程；
（2）经过 三点的圆的圆心是 ，求线段 长的最小值 ．
参考答案
1．【解析】选D.方法一:将选项分别代入题干中观察,易求出D符合要求.故选D.
方法二:∵直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,
∴a?(a+2)=-1.
∴a=-1.

2．【解析】选B.夹在两条平行线之间的最大的圆的半径为两平行线间距离的一半,而两平行线间的距离

所以 ，则圆的最大面积

3．【解析】选C.与直线3x+4y+1=0平行的直线可设为3x+4y+m=0，
由两平行线之间的距离公式可得

即直线方程为3x+4y+21=0或3x+4y-19=0，
原点位于直线l与直线3x+4y+1=0之间，可将点(0，0)代入两直线解析式，乘积 为负的即为所求，故应选C.

4．【解析】选A.∵22+12＞4,
∴点P在圆外,故过P作圆的切线可作两条.

5．【解析】选A.圆心C的坐标为(-1,2),AB中点D(0,1)，

∴l的方程为y-1=x-0,
即x-y+1=0,故应选A.

6．【解析】选D.因为点A(－1, 1)关于x轴的对称点坐标为（-1，-1），圆心坐标为（2，3），所以点A(－1, 1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2=1上一点的最短路程为

7．【解析】∵点A(1,2)在⊙O上,∴过点A且与⊙O相切的直线方程为x+2y=5,

答案：

8．【解析】假设所求直线的斜率存在,则可设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.
由题设有:

即k-1=7-k,解得k=4.
又所求直线的斜率不存在时,方程为x=1,符合题意.
故所求直线的方程为4x-y-2=0或x=1.
答案：4x-y-2=0或x=1

9．【解析】∵点A( ,1)在圆C:x2+(y-2)2=4的内部.
∴当劣弧所对的圆心角最小时,AC⊥l.

答案：

10．【解析】（1）显然两直线的斜率都存在，两条直线的方程可化为

故只需 ，即
即 两直线平行。
（2）方法一：若两直线的斜率都存在，则可得两条直线的斜率分别为 但由于 所以,此时两直线不垂直.
若m=0,则两条直线中一条斜率为0,另一条斜率不存在,于是两直线垂直.
综上可知,当m=0,且n∈R时,两直线垂直.
方法二:因为两直线垂直,所以只需2m+8m=0,
即m=0.故当m=0时,两直线垂直.

11．【解析】已知圆 ，
经平移后圆O的方程为
因为，
又
设直线 的方程是 交于
中并简化得

由题意：
所以，
因为，
所以，直线 的方程为 对应的点C的坐标为（-1，2）
或直线 的方程为 对应点C的坐标为（1，-2）.

12．【解析】（1）设

解得 或 （舍去）．
由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．
所以直线PA的方程为 ，即
直线PA与圆M相切， ，解得 或
直线PA的方程是 或 ........6分
（2）设
与圆M相切于点A，
经过 三点的圆的圆心D是线段MP的中点．
的坐标是
设
当 ，即 时，
当 ，即 时，
当 ，即 时

则 .

【备课资源】

2.经过圆C：(x+1)2+(y-2)2=4的圆心且斜率为1的直线方程为( )
(A)x-y+3=0(B)x-y-3=00
(C)x+y-1=0(D)x+y+3=0
【解析】选A.圆C的圆心坐标为(-1,2),
故所求直线方程为y-2=1?(x+1)，
即x-y+3=0.
3.直线x+y-2=0上的点和圆(x-6)2+(y-6)2=18上的点的最短距离是________.
5. 已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切,
(1)求直线l1的方程；
(2)设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.
求证:以P′Q′为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.
【解析】(1)∵直线l1过点A(3,0),且与圆O:
x2+y2=1相切,由题意设直线l1的方程为
y=k(x-3),

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