九年级数学竞赛充满活力的韦达定理知识讲座

一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达 发现的．
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：
运用韦达定理，求方程中参数的值；
运用韦达定理，求代数式的值；
利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；
利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．
韦达定理，充满 活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．
【例题求解】
【例1】 已知 、 是方程 的两个实数 根，则代数式 的值为 ．
思路点拨 所求代数式为 、 的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例
【例2】如果 、 都是质数，且 ， ，那么 的值为( )
A． B． 或2 C． D． 或2

思路点拨 可将两个等式相减，得到 、 的关系，由于两个等式结构相同，可视 、 为方程 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．

注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于 、 的对称式，这类问题可通过变形用 + 、 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：
(1)恰当组合；
(2)根据根的定义降次；
(3)构造对称式．
【例3 】 已知关于 的方程：
(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．
(2)若这个方程的两个实根 、 满足 ，求m的值及 相应的 、 ．

思路点拨 对于(2)，先判定 、 的符号特征，并从分类讨论入手．

【例4】 设 、 是方程 的两个实数根，当m为何值时 ， 有最小值?并求出这个最小值．
思 路点拨 利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．
注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理 解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题 的等价性．
【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于 的方程 的两个根．
(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由．
(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB思路点拨 对于(2)，易建立含AC、BD及m的关系式，要求出m值，还需运用与中点相关知识找寻C D、AB的另一隐含关系式．

注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．
学历训练
1．(1)已知 和 为一元二次方程 的两个实根，并 和 满足不等式 ，则实数 取值范围是 ．
(2)已知关于 的一元二次方程 有两个负数根，那么实数 的取值范围是 ．
2．已知 、 是方程的两个实数根，则代数式 的值为 ．

3．CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程 的两根，则△ABC的面积是 ．
4．设 、 是关于 的方程 的两根， +1、 +1是关于 的方程 的两根，则 、 的值分别等于( )
A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于
的方程 的两根，那么AB边上的 中线长是( )
A． B． C．5 D．2
6．方程 恰有两个正整数根 、 ，则 的值是( )
A．1 B．-l C． D．
7．若关于 的一元二次方程的两个实数根满足关系式： ，判断 是否正确?
8．已知关于 的方程 ．
(1)当 是为何值时，此方程有实数根；
(2)若此方程的两个实数根 、 满足： ，求 的值．

9．已知方程 的两根均为正整数，且 ，那 么这个方程两根为 ．

10．已知 、 是方程 的两个根，则 的值为 ．

11．△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程 的两根，则m的取值范围是 ．
12．两个质数 、 恰好是整系数方程的两个根，则 的值是( )
A．9413 B． C． D．
13．设方程有一个正根 ，一个负根 ，则以 、 为根的一元二次方程为( )
A． B．
C． D．
14．如果方程 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是( )
A．0≤m≤1 B．m≥ C． D． ≤m≤1
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于 的方程的两个根．
(1)求rn的值；
（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的 ，请说明理由．
16．设m是不小于 的实数，使得关于 的方程工 有两个不相等的实数根 、 ．
(1)若 ，求m的值．
(2)求 的最大值．
17．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又关于x的方程 两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值．
18．设 、 、 为三个不同的实数，使得方程和 和 有一个相同的实数根，并且使方程 和 也有一个相同的实数根，试求 的值．


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