逍遥右脑 2013-06-12 16:40
集合与函数概念训练题（有答案）
第一章 集合与函数概念
1．1集合
1．1．1集合的含义与表示
练习（第5页）
1．用符号“ ”或“ ”：
（1）设 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______ ，美国_______ ，
印度_______ ，英国_______ ；
（2）若 ，则 _______ ；
（3）若 ，则 _______ ；
（4）若 ，则 _______ ， _______ ．
1．（1）中国 ，美国 ，印度 ，英国 ；
中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．
（2） ．
（3） ．
（4） ， ．
2．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程 的所有实数根组成的集合；
（2）由小于 的所有素数组成的集合；
（3）一次函数 与 的图象的交点组成的集合；
（4）不等式 的解集．
2．解：（1）因为方程 的实数根为 ，
所以由方程 的所有实数根组成的集合为 ；
（2）因为小于 的素数为 ，
所以由小于 的所有素数组成的集合为 ；
（3）由 ，得 ，
即一次函数 与 的图象的交点为 ，
所以一次函数 与 的图象的交点组成的集合为 ；
（4）由 ，得 ，
所以不等式 的解集为 ．
1．1．2集合间的基本关系
练习（第7页）
1．写出集合 的所有子集．
1．解：按子集元素个数分类，不取任何元素，得 ；
取一个元素，得 ；
取两个元素，得 ；
取三个元素，得 ，
即集合 的所有子集为 ．
2．用适当的符号：
（1） ______ ； （2） ______ ；
（3） ______ ； （4） ______ ；
（5） ______ ； （6） ______ ．
2．（1） 是集合 中的一个元素；
（2） ；
（3） 方程 无实数根， ；
（4） （或 ） 是自然数集合 的子集，也是真子集；
（5） （或 ） ；
（6） 方程 两根为 ．
3．判断下列两个集合之间的关系：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ．
3．解：（1）因为 ，所以 ；
（2）当 时， ；当 时， ，
即 是 的真子集， ；
（3）因为 与 的最小公倍数是 ，所以 ．
1．1．3集合的基本运算
练习（第11页）
1．设 ，求 ．
1．解： ，
．
2．设 ，求 ．
2．解：方程 的两根为 ，
方程 的两根为 ，
得 ，
即 ．
3．已知 ， ，求 ．
3．解： ，
．
4．已知全集 ， ，
求 ．
4．解：显然 ， ，
则 ， ．
1．1集合
习题1．1 （第11页） A组
1．用符号“ ”或“ ”填空：
（1） _______ ； （2） ______ ； （3） _______ ；
（4） _______ ； （5） _______ ； （6） _______ ．
1．（1） 是有理数； （2） 是个自然数；
（3） 是个无理数，不是有理数； （4） 是实数；
（5） 是个整数； （6） 是个自然数．
2．已知 ，用 “ ”或“ ” 符号填空：
（1） _______ ； （2） _______ ； （3） _______ ．
2．（1） ； （2） ； （3） ．
当 时， ；当 时， ；
3．用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于 且小于 的整数；
（2） ；
（3） ．
3．解：（1）大于 且小于 的整数为 ，即 为所求；
（2）方程 的两个实根为 ，即 为所求；
（3）由不等式 ，得 ，且 ，即 为所求．
4．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数 的函数值组成的集合；
（2）反比例函数 的自变量的值组成的集合；
（3）不等式 的解集．
4．解：（1）显然有 ，得 ，即 ，
得二次函数 的函数值组成的集合为 ；
（2）显然有 ，得反比例函数 的自变量的值组成的集合为 ；
（3）由不等式 ，得 ，即不等式 的解集为 ．
5．选用适当的符号填空：
（1）已知集合 ，则有：
_______ ； _______ ； _______ ； _______ ；
（2）已知集合 ，则有：
_______ ； _______ ； _______ ； _______ ；
（3） _______ ；
_______ ．
5．（1） ； ； ； ；
，即 ；
（2） ； ； ； = ；
；
（3） ；
菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；
．
等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．
6．设集合 ，求 ．
6．解： ，即 ，得 ，
则 ， ．
7．设集合 ， ，求 ，
， ， ．
7．解： ，
则 ， ，
而 ， ，
则 ，
．
8．学校里开运动会，设 ，
， ，
学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，
并解释以下集合运算的含义：（1） ；（2） ．
8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，
即为 ．
（1） ；
（2） ．
9．设 ， ， ，
，求 ， ， ．
9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即 ，
平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，
即 ，
．
10．已知集合 ，求 ， ，
， ．
10．解： ， ，
， ，
得 ，
，
，
．
B组
1．已知集合 ，集合 满足 ，则集合 有 个．
1． 集合 满足 ，则 ，即集合 是集合 的子集，得 个子集．
2．在平面直角坐标系中，集合 表示直线 ，从这个角度看，
集合 表示什么？集合 之间有什么关系？
2．解：集合 表示两条直线 的交点的集合，
即 ，点 显然在直线 上，
得 ．
3．设集合 ， ，求 ．
3．解：显然有集合 ，
当 时，集合 ，则 ；
当 时，集合 ，则 ；
当 时，集合 ，则 ；
当 ，且 ，且 时，集合 ，
则 ．
4．已知全集 ， ，试求集合 ．
4．解：显然 ，由 ，
得 ，即 ，而 ，
得 ，而 ，
即 ．
第一章 集合与函数概念
1．2函数及其表示
1．2．1函数的概念
练习（第19页）
1．求下列函数的定义域：
（1） ； （2） ．
1．解：（1）要使原式有意义，则 ，即 ，
得该函数的定义域为 ；
（2）要使原式有意义，则 ，即 ，
得该函数的定义域为 ．
2．已知函数 ，
（1）求 的值；
（2）求 的值．
2．解：（1）由 ，得 ，
同理得 ，
则 ，
即 ；
（2）由 ，得 ，
同理得 ，
则 ，
即 ．
3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：
（1）表示炮弹飞行高度 与时间 关系的函数 和二次函数 ；
（2） 和 ．
3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间 ；
（2）不相等，因为定义域不同， ．
1．2．2函数的表示法
练习（第23页）
1．如图，把截面半径为 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为 ，
面积为 ，把 表示为 的函数．
1．解：显然矩形的另一边长为 ，
，且 ，
即 ．
2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后为了赶时间开始加速．
2．解：图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；
图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后为了赶时间开始加速；
图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；
图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后心情轻松，缓缓行进．
3．画出函数 的图象．
3．解： ，图象如下所示．
4．设 ，从 到 的映射是“求正弦”，与 中元素 相对应
的 中的元素是什么？与 中的元素 相对应的 中元素是什么？
4．解：因为 ，所以与 中元素 相对应的 中的元素是 ；
因为 ，所以与 中的元素 相对应的 中元素是 ．
1．2函数及其表示
习题1．2（第23页）
1．求下列函数的定义域：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
1．解：（1）要使原式有意义，则 ，即 ，
得该函数的定义域为 ；
（2） ， 都有意义，
即该函数的定义域为 ；
（3）要使原式有意义，则 ，即 且 ，
得该函数的定义域为 ；
（4）要使原式有意义，则 ，即 且 ，
得该函数的定义域为 ．
2．下列哪一组中的函数 与 相等？
（1） ； （2） ；
（3） ．
2．解：（1） 的定义域为 ，而 的定义域为 ，
即两函数的定义域不同，得函数 与 不相等；
（2） 的定义域为 ，而 的定义域为 ，
即两函数的定义域不同，得函数 与 不相等；
（3）对于任何实数，都有 ，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，
得函数 与 相等．
3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
3．解：（1）
定义域是 ，值域是 ；
定义域是 ，值域是 ；
（4）
定义域是 ，值域是 ．
4．已知函数 ，求 ， ， ， ．
4．解：因为 ，所以 ，
即 ；
同理， ，
即 ；
，
即 ；
，
即 ．
5．已知函数 ，
（1）点 在 的图象上吗？
（2）当 时，求 的值；
（3）当 时，求 的值．
5．解：（1）当 时， ，
即点 不在 的图象上；
（2）当 时， ，
即当 时，求 的值为 ；
（3） ，得 ，
即 ．
6．若 ，且 ，求 的值．
6．解：由 ，
得 是方程 的两个实数根，
即 ，得 ，
即 ，得 ，
即 的值为 ．
7．画出下列函数的图象：
（1） ； （2） ．
7．图象如下：
8．如图，矩形的面积为 ，如果矩形的长为 ，宽为 ，对角线为 ，
周长为 ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？
8．解：由矩形的面积为 ，即 ，得 ， ，
由对角线为 ，即 ，得 ，
由周长为 ，即 ，得 ，
另外 ，而 ，
得 ，
即 ．
9．一个圆柱形容器的底部直径是 ，高是 ，现在以 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度 关于注入溶液的时间 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．
9．解：依题意，有 ，即 ，
显然 ，即 ，得 ，
得函数的定义域为 和值域为 ．
10．设集合 ，试问：从 到 的映射共有几个？
并将它们分别表示出．
10．解：从 到 的映射共有 个．
分别是 ， ， ， ，
， ， ， ．
Ｂ组
1．函数 的图象如图所示．
（1）函数 的定义域是什么？
（2）函数 的值域是什么？
（3） 取何值时，只有唯一的 值与之对应？
1．解：（1）函数 的定义域是 ；
（2）函数 的值域是 ；
（3）当 ，或 时，只有唯一的 值与之对应．
2．画出定义域为 ，值域为 的一个函数的图象．
（1）如果平面直角坐标系中点 的坐标满足 ， ，那么其中哪些点不能在图象上？
（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
2．解：图象如下，（1）点 和点 不能在图象上；（2）省略．
3．函数 的函数值表示不超过 的最大整数，例如， ， ．
当 时，写出函数 的解析式，并作出函数的图象．
3．解：
图象如下
4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点 的距离是 ，从点 沿海岸正东 处有一个城镇．
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为 ，步行的速度是 ， （单位： ）表示他从小岛到城镇的时间， （单位： ）表示此人将船停在海岸处距 点的距离．请将 表示为 的函数．
（2）如果将船停在距点 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到 ）？
4．解：（1）驾驶小船的路程为 ，步行的路程为 ，
得 ， ，
即 ， ．
（2）当 时， ．
第一章 集合与函数概念
1．3函数的基本性质
1．3．1单调性与最大（小）值
练习（第32页）
1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．
1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．
2．整个上午 天气越越暖，中午时分 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落 才又开始转凉.画出这一天 期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.
2．解：图象如下
是递增区间， 是递减区间， 是递增区间， 是递减区间．
3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
3．解：该函数在 上是减函数，在 上是增函数，在 上是减函数，
在 上是增函数．
4．证明函数 在 上是减函数.
4．证明：设 ，且 ，
因为 ，
即 ，
所以函数 在 上是减函数.
5．设 是定义在区间 上的函数.如果 在区间 上递减，在区间 上递增，画出 的一个大致的图象，从图象上可以发现 是函数 的一个 .
5．最小值．
1．3．2单调性与最大（小）值
练习（第36页）
1．判断下列函数的奇偶性：
（1） ； （2）
（3） ； （4） .
1．解：（1）对于函数 ，其定义域为 ，因为对定义域内
每一个 都有 ，
所以函数 为偶函数；
（2）对于函数 ，其定义域为 ，因为对定义域内
每一个 都有 ，
所以函数 为奇函数；
（3）对于函数 ，其定义域为 ，因为对定义域内
每一个 都有 ，
所以函数 为奇函数；
（4）对于函数 ，其定义域为 ，因为对定义域内
每一个 都有 ，
所以函数 为偶函数.
2.已知 是偶函数， 是奇函数，试将下图补充完整.
2．解： 是偶函数，其图象是关于 轴对称的；
是奇函数，其图象是关于原点对称的．
习题1.3
A组
1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数 的单调区间，以及在各单调区间
上函数 是增函数还是减函数.
（1） ； （2） .
1．解：（1）
函数在 上递减；函数在 上递增；
（2）
函数在 上递增；函数在 上递减.
2.证明：
（1）函数 在 上是减函数；
（2）函数 在 上是增函数.
2．证明：（1）设 ，而 ，
由 ，得 ，
即 ，所以函数 在 上是减函数；
（2）设 ，而 ，
由 ，得 ，
即 ，所以函数 在 上是增函数.
3.探究一次函数 的单调性，并证明你的结论.
3．解：当 时，一次函数 在 上是增函数；
当 时，一次函数 在 上是减函数，
令 ，设 ，
而 ，
当 时， ，即 ，
得一次函数 在 上是增函数；
当 时， ，即 ，
得一次函数 在 上是减函数.
4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次
慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.
4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为
5.某汽车租赁公司的月收益 元与每辆车的月租金 元间的关系为
，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
5．解：对于函数 ，
当 时， （元），
即每辆车的月租金为 元时，租赁公司最大月收益为 元．
6.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， .画出函数
的图象，并求出函数的解析式.
6．解：当 时， ，而当 时， ，
即 ，而由已知函数是奇函数，得 ，
得 ，即 ，
所以函数的解析式为 .
B组
1.已知函数 ， .
（1）求 ， 的单调区间； （2）求 ， 的最小值.
1．解：（1）二次函数 的对称轴为 ，
则函数 的单调区间为 ，
且函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
函数 的单调区间为 ，
且函数 在 上为增函数；
（2）当 时， ，
因为函数 在 上为增函数，
所以 ．
2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的 间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是 ，那么宽 （单位： ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？
2．解：由矩形的宽为 ，得矩形的长为 ，设矩形的面积为 ，
则 ，
当 时， ，
即宽 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，
且每间熊猫居室的最大面积是 ．
3.已知函数 是偶函数，而且在 上是减函数，判断 在 上是增函数还是减函数，并证明你的判断.
3．判断 在 上是增函数，证明如下：
设 ，则 ，
因为函数 在 上是减函数，得 ，
又因为函数 是偶函数，得 ，
所以 在 上是增函数．
复习参考题
A组
1．用列举法表示下列集合：
（1） ；
（2） ；
（3） .
1．解：（1）方程 的解为 ，即集合 ；
（2） ，且 ，则 ，即集合 ；
（3）方程 的解为 ，即集合 ．
2．设 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？
（1） ；
（2） .
2．解：（1）由 ，得点 到线段 的两个端点的距离相等，
即 表示的点组成线段 的垂直平分线；
（2） 表示的点组成以定点 为圆心，半径为 的圆．
3.设平面内有 ，且 表示这个平面内的动点，指出属于集合
的点是什么.
3．解：集合 表示的点组成线段 的垂直平分线，
集合 表示的点组成线段 的垂直平分线，
得 的点是线段 的垂直平分线与线段 的
垂直平分线的交点，即 的外心．
4.已知集合 ， .若 ，求实数 的值.
4．解：显然集合 ，对于集合 ，
当 时，集合 ，满足 ，即 ；
当 时，集合 ，而 ，则 ，或 ，
得 ，或 ，
综上得：实数 的值为 ，或 ．
5.已知集合 ， ， ，求 ， ， .
5．解：集合 ，即 ；
集合 ，即 ；
集合 ；
则 .
6.求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） .
6．解：（1）要使原式有意义，则 ，即 ，
得函数的定义域为 ；
（2）要使原式有意义，则 ，即 ，且 ，
得函数的定义域为 ．
7.已知函数 ，求：
（1） ； （2） .
7．解：（1）因为 ，
所以 ，得 ，
即 ；
（2）因为 ，
所以 ，
即 ．
8.设 ，求证：
（1） ； （2） .
8．证明：（1）因为 ，
所以 ，
即 ；
（2）因为 ，
所以 ，
即 .
9.已知函数 在 上具有单调性，求实数 的取值范围.
9．解：该二次函数的对称轴为 ，
函数 在 上具有单调性，
则 ，或 ，得 ，或 ，
即实数 的取值范围为 ，或 ．
10．已知函数 ，
（1）它是奇函数还是偶函数？
（2）它的图象具有怎样的对称性？
（3）它在 上是增函数还是减函数？
（4）它在 上是增函数还是减函数？
10．解：（1）令 ，而 ，
即函数 是偶函数；
（2）函数 的图象关于 轴对称；
（3）函数 在 上是减函数；
（4）函数 在 上是增函数．
B组
1.学校举办运动会时，高一（1）班共有 名同学参加比赛，有 人参加游泳比赛，有 人参加田径比赛，有 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有 人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
1．解：设同时参加田径和球类比赛的有 人，
则 ，得 ，
只参加游泳一项比赛的有 （人），
即同时参加田径和球类比赛的有 人，只参加游泳一项比赛的有 人．
2.已知非空集合 ，试求实数 的取值范围.
2．解：因为集合 ，且 ，所以 ．
3.设全集 ， ， ，求集合 .
3．解：由 ，得 ，
集合 里除去 ，得集合 ，
所以集合 .
4.已知函数 .求 ， ， 的值.
4．解：当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ；
．
5.证明：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 .
5．证明：（1）因为 ，得 ，
，
所以 ；
（2）因为 ，
得 ，
，
因为 ，
即 ，
所以 .
6.（1）已知奇函数 在 上是减函数，试问：它在 上是增函数还是减函数？
（2）已知偶函数 在 上是增函数，试问：它在 上是增函数还是减函数？
6．解：（1）函数 在 上也是减函数，证明如下：
设 ，则 ，
因为函数 在 上是减函数，则 ，
又因为函数 是奇函数，则 ，即 ，
所以函数 在 上也是减函数；
（2）函数 在 上是减函数，证明如下：
设 ，则 ，
因为函数 在 上是增函数，则 ，
又因为函数 是偶函数，则 ，即 ，
所以函数 在 上是减函数．
7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 元的部分
不必纳税，超过 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：
某人一月份应交纳此项税款为 元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？
全月应纳税所得额 税率
不超过 元的部分
超过 元至 元的部分
超过 元至 元的部分
7．解：设某人的全月工资、薪金所得为 元，应纳此项税款为 元，则
由该人一月份应交纳此项税款为 元，得 ，
，得 ，
所以该人当月的工资、薪金所得是 元．