第三模块 不等式推理与证明综合检测
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.(2009•广东模拟)已知条p：x≤1，条q：1x<1，则q是非p成立的( )
A．充分不必要条
B．必要不充分条
C．充要条
D．既不充分也不必要条
解析：由1x<1，得x>1或x<0，
∴q：x>1或x<0，而非p：x>1.
∴q是非p的必要不充分条．
答案：B
2．a，b是不相等的正数，则( )
A.a2＋b22<ab<a＋b2
B.a＋b2<ab< a2＋b22
C.ab<a＋b2< a2＋b22
D.ab<a2＋b22<a＋b2
解析：用特殊值法或分析法可知，C正确．
答案：C
3．下列命题正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lgx＋1lgx≥2
B．当x>0时，x＋1x≥2
C．当x≥2时，x＋1x的最大值为2.
D．当x∈(0,2]时，x－1x无最大值
解析：A错，当0<x<1时，lgx<0；C错，当x＝2时，最小值为52；D错，当x＝2时，有最大值32.
答案：B
4．设不全等的xi∈(0，＋∞)(i＝1,2，…，n)，则在n个数x1＋1x2，x2＋1x3，…，xn－1＋1xn，xn＋1x1中( )
A．都不大于2
B．都不小于2
C．至多有n－1个大于等于2
D．至多有n－1个小于等于2
解析：假设这n个数都不大于2，用反证法会推出矛盾．
答案：D
5．当log2a>1时，不等式x2－(a＋2)x＋2a>0的解集为( )
A．{xx<a或x>2} B．{xx<2或x>a}
C．{x0<x<2} D．{x2<x<a}
解析：∵log2a>1，∴a>2，x2－(a＋2)x＋2a>0，⇔(x－a)(x－2)>0，∴x<2或x>a.
答案：B
6．如果f(x)＝mx2＋(m－1)x＋1在区间(－∞，1]上是减函数，则m的取值范围是( )
A．(0，13] B．[0，13)
C．[0，13] D．(0，13)
解析：当m＝0时，f(x)＝－x＋1，适合题意．
当m≠0时，若f(x)在(－∞，1)上为减函数．
则 ⇒0<m≤13.
综上知0≤m≤13.
答案：C
7．若不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x1<x<2}，则不等式x2＋ax＋bx2－5x－6>0的解集为( )
A．{xx<－1或1<x<2或x>6}
B．{xx<－1或2<x<6}
C．{xx<－1或x>6}
D．{x－1<x<2}
解析：方程x2＋ax＋b＝0的两根为1和2，
方程x2－5x－6＝0的两根为－1和6.
如图所示：
不等式的解集为{xx<－1或1<x<2或x>6}
答案：A
8.(2009•北京海淀)在直角坐标系由不等式组 所表示的平面区域(用阴影表示)是( )
解析：验证点(0,1)在区域内，知A、D不对，再取点(0，－1)不在区域内，知B不对．
答案：C
9.(2009•广东广州)在平面内有n(n∈N*，n≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(6)等于( )
A．19 B．22C．24 D．32
解析：f(3)＝7，f(4)＝7＋4＝11，f(5)＝11＋5＝16，f(6)＝16＋6＝22.
答案：B
10．m＝a＋a＋5，n＝a＋2＋a＋3，a≥0，则有( )
A．m<n B．m＝n
C．m>n D．m，n大小不确定
解析：∵a≥0，∴m>0，n>0.
又m2＝2a＋5＋2a2＋5a，
n2＝2a＋5＋2a2＋5a＋6，
∵a2＋5a<a2＋5a＋6，
∴m2<n2，∴m<n.
答案：A
11．若x，y∈R，且2x2＋y2＝6x，则x2＋y2＋2x的最大值为( )
A．14 B．15C.16 D．17
解析：∵2x2＋y2＝6x，
∴y2＝6x－2x2＝2x(3－x)≥0，
∴0≤x≤3.
∴x2＋y2＋2x＝x2＋6x－2x2＋2x＝－x2＋8x
＝－(x－4)2＋16.
∴当x＝3时，有最大值15.
答案：B
12．平面内平行于同一直线的两条直线平行，由类比推理可以得到( )
A．空间中平行同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
解析：平面与空间、直线与平面类比．
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13.(2009•广东模拟)用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k(k∈N*)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这实事中提炼出一个不等式组是________．
答案：
14.(2009•临沂模拟)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x2<x<4}，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集为____．
解析：由题意： ⇒
∴cx2＋bx＋a<0可化为x2＋bcx＋ac>0，即x2－34x＋18>0，
解得{xx>12或x<14}．
答案：{xx>12或x<14}．
15.(2009•北京高考)若实数x，y满足 ，则s＝y－x的最小值为________．
解析：画出可行域，如图所示．
由题知，点(x，y)落在右图三角形ABC区域内(包括边界)，C(4，－2)，当直线s＝y－x过点C时，s最小，最小值为－6.
答案：－6
16.(2009•江苏调研)已知0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2，a1≠b1，则关于三个数：a1b1＋a2b2；a1b2＋a2b1；a1a2＋b1b2的大小关系说法如下：
①a1b1＋a2b2最大；②a1b2＋a2b1最小；③a1a2＋b1b2最小；④a1b2＋a2b1与a1a2＋b1b2大小不能确定，其中正确的有________(将你认为正确说法前面的序号填上)．
解析：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)>0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
∵(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)
＝(a1－b1)(b2－a2)＝(a1－b1)2>0，
∴a1b2＋a2b1>a1a2＋b1b2.
答案：①③
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)设a>b>0，分别用分析法、综合法证明：
a2－b2a2＋b2>a－ba＋b.
证明：(分析法)要证a2－b2a2＋b2>a－ba＋b，∵a>b>0，∴只要证a＋ba2＋b2>1a＋b，
即证(a＋b)2>a2＋b2，
即证2ab>0.
该不等式显然成立，故原不等式成立．
(综合法)∵a>b>0，∴2ab>0.
∴a2＋b2＋2ab>a2＋b2，
∴(a＋b)2>a2＋b2，
∴a＋ba2＋b2>1a＋b
又a－b>0，
∴a2－b2a2＋b2>a－ba＋b.
18．(12分)对于a>b>0，请依据a2＋b2>ab＋ab；a3＋b3>a2b＋ab2；a4＋b4>a3b＋ab3归纳出an＋bn(n为正整数)满足的不等式，并给予证明．
解：由已知可归纳出an＋bn>an－1b＋abn－1.
证明如下：∵a>b>0，∴a－b>0，an－1－bn－1>0
∴an＋bn－(an－1b＋abn－1)
＝an－1(a－b)＋bn－1(b－a)
＝(a－b)(an－1－bn－1)>0.
∴an＋bn>an－1b＋abn－1(n为正整数)．
19．(12分)已知a>1，命题p：a(x－2)＋1>0，命题q：(x－1)2>a(x－2)＋1，若命题p与q同时成立，求x的取值范围．
解：依题意得 ，
∵a>1，∴ .
①当1<a<2时，则有 ，
而a－(2－1a)＝a＋1a－2>0，
∴a>2－1a，∴2－1a<x<a或x>2.
②当a＝2时，则x>32且x≠2.
③当a>2时，则 .
∴x>a，或2－1a<x<2.
综上知，当1<a<2时，x的取值范围是
(2－1a，a)∪(2，＋∞)；当a＝2时，x的取值范围是(32，2)∪(2，＋∞)；当a>2时，x的取值范围是(2－1a，2)∪(a，＋∞)．
20．(12分)一种计算装置，有一个数据入口A和一个运算出口B，按照某个运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到13，记为f(1)＝13；②当从A口输入自然数n(n≥2)时，在B口得到的结果f(n)是前一个结果f(n－1)的2(n－1)－12(n－1)＋3倍．
试问：当从A口分别自然数2,3,4时，从B口分别得到什么数？试猜想f(n)的关系式．
解：由已知得f(n)＝2n－32n＋1f(n－1)(n≥2，n∈N*)．
当n＝2时，f(2)＝4－34＋1f(1)＝15×13＝115，
同理可求得f(3)＝135，f(4)＝163，
猜想f(n)＝1(2n－1)(2n＋1).
21．(12分)某个体户经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝x＋1；
g(x)＝ ，如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．
解：设投入B商品的资金为x万元(0≤x≤5)，则投A商品的资金为5－x万元，并设所获得的收入为S(x)万元．
(1)当0≤x≤3时，f(x)＝6－x，
g(x)＝10x＋1x＋1，S(x)＝6－x＋10x＋1x＋1
＝17－[(x＋1)＋9x＋1]≤17－6＝11，
当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时取“＝”号．
(2)当3<x≤5时，f(x)＝6－x，
g(x)＝－x2＋9x－12.
S(x)＝6－x－x2＋9x－12
＝－x2＋8x－6＝－(x－4)2＋10≤10，此时x＝4.
∵10<11，∴最大收益为11万元．
答：该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益．
22．(12分)解关于x的不等式kx2＋(2k－1)x＋k－2<0.
解：(1)当k＝0时，不等式的解集为{xx>－2}．
(2)当k>0时，Δ＝4k＋1>0，不等式的解集为
{x1－2k－4k＋12k<x<1－2k＋4k＋12k}
(3)当k<0时，Δ＝4k＋1，不等式可化为－kx2＋(1－2k)x＋2－k>0.
① ，即－14<k<0时，不等式的解集为
{xx>1－2k－4k＋12k或x<1－2k＋4k＋12k}
② ，即k＝－14时，不等式的解集为{xx≠－3，x∈R}
③ 即k<－14时，不等式的解集为R.
综上所述：k＝0时，解集为(－2，＋∞)；
k>0时，解集为(1－2k－4k＋12k，1－2k＋4k＋12k)；
－14<k<0时，解集为(－∞，1－2k＋4k＋12k)∪(1－2k－4k＋12k，＋∞)；k＝－14时，解集为
(－∞，－3)∪(－3，＋∞)；k<－14时，解集为R.
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