逍遥右脑 2013-03-17 22:51
题型九 函数的单调性、最值、极值问题
(推荐时间：30分钟)
1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值5，其导函数的图象经过(1,0)，(2,0)，如图所示，求：
(1)x0的值；
(2)a，b，c的值；
(3)f(x)的极大值．
2．已知函数f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0 (m∈R)的解的个数．
答 案
1．解 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
(1)观察图象，我们可发现当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数，
因此在x＝2处函数取得极小值．
结合已知，可得x0＝2.
(2)由(1)知f(2)＝5，即8a＋4b＋2c＝5.
再结合f′(x)的图象可知，方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为1,2，
那么1＋2＝－2b3a，1×2＝c3a 即2b＝－9a，c＝6a.
联立8a＋4b＋2c＝5，得a＝52，b＝－454，c＝15.
(3)由(1)知f(x)在x＝1处函数取得极大值，
∴f(x)极大值＝f(1)＝a＋b＋c＝52－454＋15＝254.
2．解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
令f′(x)＝0，得x＝1e，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x0，1e
1e
1e，＋∞
f′(x)－0＋
f(x) ?
极小值?
所以，f(x)在(0，＋∞)上的最小值是f1e＝－1e.
(2)当x∈0，1e时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是－1e，0；
当x∈1e，＋∞时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是－1e，＋∞，
下面讨论f(x)－m＝0的解，
当m<－1e时，原方程无解；
当m＝－1e或m≥0，原方程有唯一解；
当－1e<m<0时，原方程有两解．