江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学2015-2016学年高二下

高二下学期第一次月考（3月）联考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两卷，满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共1个小题，每小题5分，共0分1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“lα”是“lm且ln”的(　 　)A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知直线m、n和平面α、β满足mn，mα，αβ，则( 　　)A．nβ B．nβ，或nβC．nα D．nα，或nα3..若平面α平面β，直线a平面α，点Bβ，则在平面β内且过B点的所有直线中 (　　)A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(　 　)A.a2　　　B．2a2　　C.a2　　　D.a2如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为A．B．C．D．1C．至多有两个直角三角形D．可能都是直角三角形7．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　 　)A．ACBE B．EF平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．AEF的面积与BEF的面积相等．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于(　　)A．8π B．16πC．48π D．不确定的实数 B．C． D．10.三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N 分别在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2CM，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N－AMC的体积V与x变化关系(x∈(0,3))是 ( )第Ⅱ卷二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为中, ,AB=8, ,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为 . 13．中， ，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到点的最短距离是 。 14．在棱长为1的正方体AC1中，E为AB的中点，点P为侧面BB1C1C内一动点(含边界)，若动点P始终满足PEBD1，则动点P的轨迹的长度为________．. 四面体ABCD中，有以下命题：①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；②若E、F、G分别是BC，AB，CD的中点，则∠EFG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体．其中正确命题序号是 ．三、解答题：本大题共6个小题，共7分16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。（1）求证：BC1//平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4。（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积。18.在直三棱柱中，，，且异面直线与 所成的角等于，设． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的大小．19.如图所示，已知PAO所在平面，AB是O的直径，点C是O上任意一点，过A作AEPC于点E，AFPB于点F，求证：(1)AE平面PBC；(2)平面PAC平面PBC；(3)PBEF.20.如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证：ADPB.(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论．高二高二理科数学 参考答案1~10 ADABA DDBBA11~15 6πa2 2 ①③16.解答：（1）连接AC1交A1C于E，连接DE，∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点。又CD平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面平面AA1B1B。又ΔPAD是边长为4的等边三角形，∴PO=。18.解:（1），就是异面直线与所成的角，即，……（2分）连接，又，则为等边三角形，……………………………4分由，，；………5分 （2）取的中点，连接，过作于，连接，,平面 又，所以平面，即，所以就是平面与平面所成的锐二面角的平面角。…………7分在中，，，,，…………………………11分因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。…………12分说明：取的中点，连接，…………同样给分（也给12分）19证明：(1)因为AB是O的直径，所以ACB＝90°，即ACBC.又因为PAO所在平面，即PA平面ABC.又BC平面ABC，所以BCPA.又因为AC∩PA＝A，所以BC平面PAC.因为AE平面PAC，所以BCAE.又已知AEPC，PC∩BC＝C，所以AE平面PBC.(2)因为AE平面PBC，且AE平面PAC，所以平面PAC平面PBC.(3)因为AE平面PBC，且PB平面PBC，所以AEPB.又AFPB于点F，且AF∩AE＝A，所以PB平面AEF.又因为EF平面AEF，所以PBEF.解析：(1)方法一，如图，取AD中点G，连接PG，BG，BD.∵△PAD为等边三角形，PG⊥AD，又平面PAD平面ABCD，PG⊥平面ABCD.在ABD中，A＝60°，AD＝AB，ABD为等边三角形，BG⊥AD，AD⊥平面PBG，AD⊥PB.方法二，如图，取AD中点GPAD为正三角形，PG⊥AD又易知ABD为正三角形AD⊥BG.又BG，PG为平面PBG内的两条相交直线，AD⊥平面PBG.AD⊥PB. (2)连接CG与DE相交于H点，在PGC中作HFPG，交PC于F点，FH⊥平面ABCD，平面DHF平面ABCD，H是CG的中点，F是PC的中点，在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF平面ABCD.平面PCB，所以EF//平面PCB，GF//平面PCB。又EF∩GF=F，所以平面GFE//平面PCB。（2）过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H，连接HB。因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。依条件容易求出CH=，所以tan∠BHC=，所以二面角B-AP-C的正切值是。（3）如图，设PB的中点为K，连接KC，AK，因为ΔPCB为等腰直角三角形，所以KC⊥PB；又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，又因为AK∩KC=K，所以PB⊥平面AKC；又PB平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB。在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M。因为平面AKC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，连接PM，则∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角。容易求出PF=，FM=，所以sin∠MPF==.即直线PF与平面PAB所成的角的正弦值是！第10页 共10页学优高考网！！EFC1B1A1CBA江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学2015-2016学年高二下学期第一次月考（3月）联考数学（理）试题
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