来
数 学(文科)
满分：100分(必考Ⅰ部分) 50分(必考Ⅱ部分)
时量：120分钟
(考试范围：选修1－1及1－2)
得分：______________
必考Ⅰ部分
一、：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数z＝(1＋ai)?(2＋i)是纯虚数，则实数a的值为
A．2 B．－ C. D．－2
2．如图所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是
A．“概念”与“分类”是从属关系
B．“等差数列”与“等比数列”是从属关系
C．“数列”与“等差数列”是从属关系
D．“数列”与“等比数列”是从属关系，但“数列”与“分类”不是从属关系
3．下列说法中错误的是
A．对于命题p：?x0∈R，sin x0>1，则?p：?x∈R，sin x≤1；
B．命题“若0<a<1，则函数f(x)＝ax在R上是增函数”的逆命题为假命题；
C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题；
D．命题“若x2－x－2＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－x－2≠0”．
4．“1<k<7”是“方程＋＝1表示双曲线”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
5．某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：
x3456
y2.5344.5
据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是
A.＝0.7x＋0.35 B.＝0.7x＋1
C.＝0.7x＋2.05 D.＝0.7x＋0.45
6．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ac)h，(h为四面体的高)
7．函数f(x)＝x5－x4－4x3＋7的极值点的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知椭圆＋＝1，F1、F2分别为其左、右焦点，椭圆上一点到F1的距离是2，N是F1的中点，则ON(O为原点)的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
答题卡
题号12345678得 分
答案
二、题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．
9．已知复数z＝1＋，则＝____________．
10．读下面的程序框图，当输入的值为－5时，输出的结果是________．
11．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中的白色地面砖有______________块．
12．曲线f(x)＝xsin x在点处的切线方程是______________．
13．已知双曲线－＝1(a，b>0)的顶点到渐近线的距离等于，则双曲线的离心率e是________．
三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．(本小题满分11分)
在某测试中，卷面满分为100分，60分及以上为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：
分数段[29～40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]
午休考生
人数23473021143114
不午休考
生人数1751671530173
参考公式及数据：K2＝
P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005
k02.7063.8415.0246.6357.879
(1)根据上述表格完成列联表：
及格人数不及格人数总计
午休
不午休
总计
(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系？对今后的复习有什么指导意义？
15．(本小题满分12分)
已知：a，b，c>0.求证：a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥6abc.
16.(本小题满分12分)
已知抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，过焦点的直线与抛物线交于不同两点A，B，直线OA(O为原点)交准线l于点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1) 求证：y1y2是一个定值；
(2) 求证：直线B平行于x轴．
必考Ⅱ部分
一、题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．
1．从抛物线x2＝4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为，且P＝5，设抛物线的焦点为F，则△PF的面积为________．
二、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2．已知定义在R上的函数f(x)的导数是f′(x)，若f(x)是增函数且恒有f(x)>0，则下列各式中必成立的是
A．2f(－1)<f(－2) B．3f(－2)>2f(－3)
C．2f(1)>f(2) D．3f(2)>2f(3)
三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
3．(本小题满分13分)
已知函数f(x)＝－x3＋3x.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)当x∈[0，a]，a>0时，设f(x)的最大值是h(a)，求h(a)的表达式．
4.(本小题满分13分)
(1)证明：xln x≥x－1；
(2)讨论函数f(x)＝ex－ax－1的零点个数．
5. (本小题满分14分)
如图，已知焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)有一个内含圆x2＋y2＝，该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点，N，且⊥(O为原点)．
(1)求b的值；
(2)设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B.
求证：⊥，并求AB的取值范围．
湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题
数学(文科)参考答案
必考Ⅰ部分(100分)
6．C 【解析】△ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体A－BCD的内切球球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原面为底面的四面体， 高都为r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
7．B 【解析】f′(x)＝x4－4x3－12x2＝x2(x＋2)(x－6)，
所以f(x)有两个极值点x＝－2及x＝6.
8．D 【解析】据椭圆的定义，由已知得F2＝8，而ON是△F1F2的中位线，故ON＝4.
二、填空题
9.
10．2 【解析】①A＝－5＜0，②A＝－5＋2＝－3＜0，③A＝－3＋2＝－1＜0，
④A＝－1＋2＝1＞0，⑤A＝2×1＝2.
11．4n＋2 【解析】第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n个图案中有4n＋2块．
12．x－y＝0
13. 【解析】由题意知＝tan 30°＝?e＝＝.
∵K2≈5.7>5.024，
因此，有97.5%的把握认为午休与考生及格有关系，即能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系．(10分)
对今后的复习的指导意义就是：在以后的复习中，考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态．(11分)
(2)据题意设A，(－1，y)，(8分)
由A、、O三点共线有＝?y1y＝－4，(10分)
又y1y2＝－4
则y2＝y，故直线B平行于x轴．(12分)
必考Ⅱ部分(50分)
一、填空题
1．10 【解析】设P(xP，yP)，∵P＝PF＝yP＋1＝5，∴yP＝4，
则xP＝4，S△PF＝PxP＝10.
二、选择题
2．B 【解析】由选择支分析可考查函数y＝的单调性，而f′(x)>0且f(x)>0，则当x<0时′＝<0，
即函数在(－∞，0)上单调递减，故选B.
三、解答题
3．【解析】(1)f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)(2分)
列表如下：
x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)
f′(x)－0＋0－
f(x)递减极小值递增极大值递减
所以：f(x)的递减区间有：(－∞，－1)，(1，＋∞)，递增区间是(－1，1)；
f极小值(x)＝f(－1)＝－2，f极大值(x)＝f(1)＝2.(7分)
(2)由(1)知，当0<a≤1时，f(x)在[0，a]上递增，
此时fax(x)＝f(a)＝－a3＋3a；(9分)
当a>1时，f(x)在(0，1)上递增，在(1，a)上递减，
即当x∈[0，a]时fax(x)＝f(1)＝2(12分)
综上有h(a)＝(13分)
4．【解析】 (1)设函数φ(x)＝xln x－x＋1，则φ′(x)＝ln x(1分)
则φ(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，(3分)
φ(x)有极小值φ(1)，也是函数φ(x)的最小值，则φ(x)≥φ(1)＝1×ln 1－1＋1＝0
故xln x≥x－1.(5分)
(2)f′(x)＝ex－a(6分)
①a≤0时，f′(x)>0，f(x)是单调递增函数，又f(0)＝0，
所以此时函数有且仅有一个零点x＝0；(7分)
②当a>0时，函数f(x)在(－∞，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增，
函数f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－1(8分)
?.当a＝1时，函数的极小值f(ln a)＝f(0)＝a－aln a－1＝0
则函数f(x)仅有一个零点x＝0；(10分)
?.当0<a<1或a>1时，由(1)知极小值f(ln a)＝a－aln a－1<0，又f(0)＝0
当0<a<1时，ln a<0，易知x?－∞时，ex?0，－ax－1?＋∞，
故此时f(x)?＋∞，则f(x)还必恰有一个小于ln a的负根；
当a>1时，2ln a>ln a>0，计算f(2ln a)＝a2－2aln a－1
考查函数g(x)＝x2－2xln x－1(x>1) ，则g′(x)＝2(x－1－ln x)，
再设h(x)＝x－1－ln x(x>1)，h′(x)＝1－＝>0
故h(x)在(1，＋∞)递增，则h(x)>h(1)＝1－1－ln 1＝0，
所以g′(x)>0，即g(x)在(1，＋∞)上递增，则g(x)>g(1)＝12－2×1×ln 1－1＝0
即f(2ln a)＝a2－2aln a－1>0，
则f(x)还必恰有一个属于(ln a，2 ln a)的正根．
故0<a<1或a>1时函数f(x)都是恰有两个零点．
综上：当a∈(－∞，0]∪{1}时，函数f(x)恰有一个零点x＝0，
当a∈(0，1)∪(1，＋∞)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13分)
5．【解析】(1)当N⊥x轴时，N的方程是x＝±，
设，N
由⊥知y1＝，
即点在椭圆上，代入椭圆方程得b＝2.(3分)
(2)当l⊥x轴时，由(1)知⊥；
当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y＝kx＋，即kx－y＋＝0
则＝?32＝8(1＋k2)(5分)
?(1＋2k2)x2＋4kx＋22－8＝0,
Δ＝16k22－4(1＋2k2)(22－8)＝(4k2＋1)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
则，(7分)
x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
－＋2xkb1.co
＝＝0，即⊥.
即椭圆的内含圆x2＋y2＝的任意切线l交椭圆于点A、B时总有⊥.(9分)
(2)当l⊥x轴时，易知AB＝2＝(10分)
当l不与x轴垂直时，AB＝＝
＝(12分)
设t＝1＋2k2∈[1，＋∞)，∈(0，1]
则AB＝＝
所以当＝即k＝±时AB取最大值2，
当＝1即k＝0时AB取最小值，
(或用导数求函数f(t)＝，t∈[1，＋∞)的最大值与最小值)
综上AB∈.(14分) 来
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