安徽省阜阳一中2013-2014学年高二上学期期末考试 数学理试题

安徽省阜阳一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学试题（理科） 选择题(共10小题， 50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把答案填涂在答题卷上)1、已知是虚数单位，复数=，则=（ ）A．0 B．1 C.2 D. 2、已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，则p是( ) A. x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0 B.x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0C.x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1) 0时，函数的图象大致是（ ）9、若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 、分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若,则 （ ）A. B. 3 C.2 D.110、 已知函数对称，且当时其导函数满足若则A． B．C． D．(共5小题．25分。把答案填在答题卷的相应横线上)11、方程在上有解，则实数的取值范围是 .12、设直线与曲线的图像分别交于点，则的最小值为 13、在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下一个直角三角形按下图所标边长，由勾股定理得.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下正方体的“一个角”三条侧棱两两垂直的三棱锥O－ABC，若用表示三个侧面面积，表示截面面积，你类比得到，之间的关系式为_______________. 14、过双曲线(>0,b>0)的焦点F(c,)作圆的切线，切点为E，交，则双曲线的离心率为__ 15、若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：① ；② ，③ ；④ 对应的曲线中存在“自公切线”的是 __三、解答题(共6小题．共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16、（12分）已知“一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大”．（1）设圆和正方形的周长为，请你用分别表示出圆和正方形的面积，并用分析法证明该命题；（2）类比球体与正方体，写出一个正确的命题（不要求证明）。17、（1分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系。（I）半椭圆求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）,求的最大值值（均用表示）18、（1分） （1）令，求证：是其定义域上的增函数；（2）设（，，用数学归纳法证明：19、(13分) 已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为.（1）求椭圆的标准方程；（2）当，在焦点在轴上的椭圆上求一点Q，使该点到直线的距离最大。（3）试判断乘积“”的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；20、(13分)S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的正切值；21．（ 13分）设函数上的最大值为（）．（1）的值；（2）的通项公式； 安徽省阜阳一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学试题（理科）参考答案一、D C D B D A C B C C二、（11） ；（12 ）2；（13）（14）；（15） ② ③三、16．（12分）已知“一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大”．（1）设圆和正方形的周长为，请你用分别表示出圆和正方形的面积，并用分析法证明该命题；（2）类比球体与正方体，写出一个正确的命题（不要求证明）。【答案】（1）依题意，圆的面积为，正方形的面积为．因此本题只需证明．要证明上式，只需证明，两边同乘以正数，得．因此，只需证明．恒成立，所以．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大． （2）一个球与一个正方体的表面积相等时，球的体积比正方体的体积大。17、（1分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系。（I）半椭圆求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）,求的最大值值（均用表示）解：（I）半椭圆方程点的纵坐标， 则从而S=，其定义域为．（II），则．令，得．因为当时，；当时，，所以是的最大值．因此，当时，的最大值．1（1分） （1）令，求证：是其定义域上的增函数；（2）设（，，用数学归纳法证明：解：（1）易知函数的定义域为R， 是其定义域R上的增函数。（2）①时，，由已知条件可得再由（1）知是增函数，=即时，不等式成立。②假设不等式成立，即则时=，即时，不等式成立综合①②知时，不等式成立。19、(13分) 已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为.（1）求椭圆的标准方程；（2）当，在焦点在轴上的椭圆上求一点Q，使该点到直线的距离最大。（3）试判断乘积“”的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；解：（1）双曲线的左右焦点为,即的坐标分别为. 所以设椭圆的标准方程为,则, 且,所以,从而, 所以椭圆的标准方程为. 或 (2) 当时，，故直线的方程为即， 。。。。。。。。。。点Q（（3）设则，即 . 所以的值与点的位置无关，恒为.20、(13分)S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的正切值；解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N-CM-B的正切值为2.解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），∵?=（-4，0，0）?（0，2，2）=0，∴AC⊥SB.（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0）=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则 ?n=3x+y=0， 取z=1，则x=，y=-，∴n=(，-，1)，?n=-x+z=0， 又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， ∴cos(n，)==.二面角N-CM-B的正切值为2.21、（ 13分）设函数上的最大值为（）．（1）的值；（2）的通项公式； 解：（1）解法1：∵ 当时，当时，，即函数在上单调递减，∴， 当时，当时，，即函数在上单调递减，∴ 解法2：当时，，则当时，，即函数在上单调递减，∴，当时，，则当时，，即函数在上单调递减，∴（2）令得或，∵当时，且当时，当时，故在处取得最大值，即当时，,------（）当时（）仍然成立，综上得 AO-111y=x2xy s＝s＋s＋s安徽省阜阳一中2013-2014学年高二上学期期末考试 数学理试题
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