逍遥右脑 2015-03-19 12:22
第一章 数列
§1 数 列
1.1 数列的概念
双基达标 限时20分钟
1．将正整数的前5个数排成：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,3,5,4,1；④1,4,5,3,2.则可称为数列的有 ( )．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
解析 根据数列的定义和性质可知选D.
答案 D
2．数列23，45，67，89，…的第10项是 ( )．
A.1617 B.1819 C.2021 D.2223
解析 由题意知数列的通项公式是an＝2n2n＋1，∴a10＝2×102×10＋1＝2021.故选C.
答案 C
3．如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为 ( )．
A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
解析 这4个着色三角形的个数依次为1,3,9,27，都是3的指数幂，猜想数列的通项公式
为an＝3n－1.
答案 A
4．数列1,2,4,8,16,32…的一个通项公式为________．
解析 由a1＝20，a2＝21，a3＝22，a4＝23，…易得an＝2n－1.
答案 an＝2n－1
5．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．
解析 an＝n(n＋1)＝600＝24×25，n＝24.
答案 24
6．观察下面数列的特点，用适当的数，并写出每个数列的一个通项公式：
(1)34，23，712，( )，512，13，…
(2)53，( )，1715，2624，3735，…
(3)2,1，( )，12，…
(4)32，94，( )，6516，…
解 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则
于是括号内填612，而分子恰为10减序号．
故括号内填12，通项公式为an＝10－n12.
(2)53＝4＋14－1，1715＝16＋116－1，2624＝25＋125－1，
3735＝36＋136－1.
只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．
故括号内填108，通项公式为an＝n＋12＋1n＋12－1.
(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为an＝2n.
(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以应填318，数列的通项公式为an＝n＋12n.
综合提高 （限时25分钟）
7．下列说法正确的是 ( )．
A．数列可以看做是一个定义域为正整数集N＋的函数
B．数列可以看做是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值
C．数列可以看做是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数
D．数列可以看做是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数值
解析 B中的{1,2,3，…，n}不能省略，如果只留下“N＋(或其有限子集)”几个字，很容
易产生误解．同时不能认为只有定义在N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数将其函
数值排列好才形成数列．例如定义在实数集R上的函数y＝f(x)，函数值f(0)，f(2)，f(3)，
f(π)，…就是一个数列．它与数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…是不同的数列．这说明：
数列可以看成一类特殊函数的有序排列好的函数值，但不是这样的特殊函数，其函数值也
能有序排列好，从而形成数列．
答案 B
8．在数列1,3,6,10，x,21,28，…中，由给出的数之间的关系可知x的值是 ( )．
A．12 B．15 C．17 D．18
解析 观察发现相邻两项分别相差2,3,4，？，？，7，…，依据规律两个？，？依次为5,6，
∴x＝10＋5＝15.
答案 B
9．数列－12，34，－78，1516，－3132，…的一个通项公式是________．
解析 数列的奇数项为负数，偶数项为正数，所以借助(－1)n来确定符号，易看出各项分
母分别为21,22,23,24,25，…，且每一项的分子比分母少1，所以这个数列的通项公式为an
＝(－1)n2n－12n.
答案 an＝(－1)n2n－12n
10．根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律，猜测第n个图形中有________个点．
解析 观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n个
图中点的个数为(n－1)n＋1.
答案 n2－n＋1
11．已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．
(1)求这个数列的第4项与第25项；
(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
解 (1)由题设条件知an＝n＋2n.
∴a4＝4＋2×4＝10，a25＝25＋2×25＝55.
(2)假设253是这个数列中的项，则253＝n＋2n，解得n＝121.∴253是这个数列的第121项．假设153是这个数列中的项，则153＝n＋2n，解得n＝7214，这与n是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．
12．(创新拓展)写出数列13＋2,13＋6,13＋12,13＋20,13＋30，…的一个通项公式，并验证2 563是否是该数列中的一项．
解 该数列的项为13＋1×2,13＋2×3,13＋3×4，….故其通项公式可以为an＝13＋n(n＋1)(n∈N＋)．
令13＋n(n＋1)＝2 563，则n2＋n＝2 550.
解得n＝50或n＝－51(舍去)．
∴2 563是该数列中的第50项．