陕西省西安市第七十中学2013-2014学年高二上学期第二次月考数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 1．命题“若x>5，则x>0”的否命题是A．若x≤5，则x≤0 B．若x≤0，则x≤5C．若x>5，则x≤0 D．若x>0，则x>52．是成立的 A. 不充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充分不必要条件 D.充要条件3．对“任意，都有”的否定为A.对任意，都有 B.不存在，都有 C.存在，使得 D.存在，使得4．已知p、q是两个命题，若“(（p或q）”是真命题，则A．p、q都是真命题 B．p、q都是假命题C．p是假命题且q是真命题 D．p是真命题且q是假命题5.已知点B是点A（3，4，-2）在平面上的影，则等于 B. C. 5 D. 6.如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点 在线段上，且使，用向量表示向量是 A． B．C． D． 7.如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱AA1长为，且AA1与A1B1，A1D1的夹角都是60°，则AC1的长等于A.10 B. C. D.8．三棱锥D-ABC中，平面，，，E为BC中点，F为CD中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为 A. B. C. D. 9．正方体ABCD(A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值是A. B. C. D. 10.如图,中,E为的中点,点P在线段上,点P到直线的距离的最小值 C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分. 11. 空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则_________ （用，，表示） 12.已知条件；条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_________ . 13.边长为4的正四面体中， 为的中点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为 14. 如图，AO平面α，BCOB，BC与平面α的夹角为30°，AO＝BO＝BC＝a，则AC＝________.15.给出下列命题：①命题“若b2－4acb>0，则>>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.其中真命题的序号为________.三、解答题：本大题共4小题，满分45分. 17.（12分）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.()证明AB⊥A1C;()若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值. 18.（12分）如图,直棱柱中,分别是的中点,.(1)证明:平面; (2)求二面角的正弦值.18.（12分）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.()求证:AA1⊥平面ABC;()求二面角A1-BC1-B1的余弦值;()证明:在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.12.13.14.15.①②③三．16.解：当 p为真命题时，∵函数是R上的减函数17. (Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,, ∵AB=,=,∴是正三角形,∴⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵=E,∴AB⊥面, ∴AB⊥; (Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB, 又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥, ∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),== (-1,0,),=(0,-,), 设=是平面的法向量,则,即,可取=(,1,-1), ∴=, ∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 18. 19. (I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 ⊥AC. 因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC. (II)由(I)知AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面A1BC1的法向量为,则,即, 令,则,,所以. 同理可得,平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. (III)设D是直线BC1上一点,且. 所以.解得,,.所以. 由,即.解得. 因为,所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B. 此时,. ！www.gkstk.cn）！www.gkstk.cn）！陕西省西安市第七十中学2013-2014学年高二上学期第二次月考数学（理）试题
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