北京市海淀区高二上学期期中考试 理科数学

—学年度第一学期期中练习 高二数学(理科)A卷 出题人：牛惠敏 审核人：吴玲玲考 生须 知1、本卷共8 页，包括三个大题， 19小题，满分为100分.练习时间90分钟2、答题前，考生应认真在密封线外填写班级、姓名和学号3、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效一、选择题:本大题共10小题每小题分共0分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．等于( ）A．B．C．D．2．A．B．C．D．3．如图，在平行六面体中，已知＝a，＝b，＝c，则用向量a，b，c可表示向量等于 (　)A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．－a＋b＋c4． ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.05．ABCD是边长为2的正方形，从A绕柱面到另一端C最矩距离是 ( ) A． B．4C． D．6．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2则(　　)A．S1＝2S2 B．S1＝3S2C．S1＝4S2 D．S1＝2S27．设是直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是A．若∥，∥，则 B．若，⊥，则⊥C．若⊥，⊥，则⊥ D．若⊥, ，则⊥8．为正方体的中心，点为面的中心，点为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是( )A． B． C． D．9．一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示， 则这个三棱柱的左视图的面积为A． B． C． ． 10．如图所示，在棱长为1的正方体的面对角线上存在一点使得最短， 则的最小值为( )A． B． C． 2 D．二、填空题:本大题共小题,每小题分，满分20分11．已知向量则的为_____________12．水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,已知,则AB边上的中线的实际长度为. 13．满足 ， ，则14．若两点的坐标是，则的取值范围是_________.15．三、解答题:本大题共小题满分0分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（本小题满分分）中，已知，求异面直线与所成角的余弦值..17．（本题满分1分） 如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC—A1B1C1中，F是A1C1的中点（1）求证：BC1//平面AFB1； （2）求证：平面AFB1⊥平面ACC1A1 （本题满分1分）如图,在三棱锥中,平面平面,,,过作,垂足为,点分别是棱的中点.求证:(1)平面平面; (2) .19．（本题满分1分）如图1，在三棱锥P－ABC中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示．(1)证明：AD平面PBC；(2)求三棱锥D－ABC的体积；(3)在ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ平面ABD，并求此时PQ的长．二、填空题:本大题共小题,每小题分，满分20分三、解答题:本大题共小题满分0分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（本小题满分分）中，已知，求异面直线与所成角的余弦值.17．（本题满分1分） 如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC—A1B1C1中，F是A1C1的中点（1）求证：BC1//平面AFB1； （2）求证：平面AFB1⊥平面ACC1A118．（本题满分1分）如图,在三棱锥中,平面平面,,,过作,垂足为,点分别是棱的中点.求证:(1)平面平面; (2).19. （本题满分1分）如图1，在三棱锥P－ABC中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示(1)证明：AD平面PBC；(2)求三棱锥D－ABC的体积；(3)在ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ平面ABD，并求此时PQ的长．一、选择题（10×=40）题号答案CDCBBBDAA二、填空题（4×5=20）11． 12. 13. 14. [1，5] 15.①③④三、解答题:本大题共小题,满分0分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．， 为异面直线与所成的角. ………3分，在△中，， ………5分 ………8分17 ．证明：（1）连结交于点，连结 ………1分正三棱柱ABC—A1B1C1中，是矩形 ………2分， 又， ………分 ………分 ………分（2）， ………………6分 ………………7分 ………………8分 ………………9分又 ………………10分（说明：证明时，也可以通过证明垂直于两相交直线来完成）18．（本题满分1分）证明:(1)∵,∴F分别是SB的中点∵E.F分别是SA.SB的中点 ∴EF∥AB ………………1分又∵EF平面ABC, AB平面ABC ∴EF∥平面ABC………………3分同理:FG∥平面ABC………………4分又∵EFFG=F, EF.FG平面ABC∴平面平面………………5分(2)∵平面平面平面平面=BCAF平面SABAF⊥SB ………………7分∴AF⊥平面SBC 又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC ………………分又∵, ABAF=A, AB.AF平面SAB ………………分 ∴BC⊥平面SAB19 （本题满分1分） (1)证明　因为PA平面ABC，所以PABC，又ACBC，所以BC平面PAC，所以BCAD. ……………2分由三视图可得，在PAC中，PA＝AC＝4，D为PC的中点，所以ADPC，……………3分所以AD平面PBC.……………4分(2)由三视图可得BC＝4，由(1)知ADC＝90°，BC平面PAC，……………6分又三棱锥D－ABC的体积即为三棱锥B－ADC的体积，所以所求三棱锥的体积V＝××AD×CD×BC＝××2×2×4＝.……………8分(3)取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ＝2CO，连接PQ，OD，点Q即为所求．因为O为CQ的中点，D为PC的中点，所以PQOD，因为PQ平面ABD，OD平面ABD，所以PQ平面ABD，……………10分连接AQ，BQ，因为四边形ACBQ的对角线互相平分，且AC＝BC，ACBC，所以四边形ACBQ为正方形，所以，CQ即为ACB的平分线，又AQ＝4，PA平面ABC，所以在RtPAQ中，PQ＝＝4.……………12分侧（左）视图正（主）视图HGD1BC11CEFA班级 姓名 学号 装订线 DA1B1班级 姓名 学号 装订线 班级 姓名 学号 装订线 北京市海淀区高二上学期期中考试 理科数学
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