基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案）

选修2-2 1.2.2 第2课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则
一、
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　　)
A．1　 　　　B．2　 　　　
C．3　 　　　D．4
[答案]　D
[解析]　y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)?(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′x＝1＝4.
2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝(　　)
A．x4 B．x4－2
C．4x3－5 D．x4＋2
[答案]　B
[解析]　∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1
∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.
3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是(　　)
A.nn＋1 B.n＋2n＋1
C.nn－1 D.n＋1n
[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，
∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，
即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，
∴数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为：
Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)
＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1
＝1－1n＋1＝nn＋1，
故选A.
4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　C
[解析]　由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝ax＋b2a2－b24a，
顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.
5．函数y＝(2＋x3)2的导数为(　　)
A．6x5＋12x2 B．4＋2x3
C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)?3x
[答案]　A
[解析]　∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，
∴y′＝6x5＋12x2.
6．(2010?江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)
A．－1 B．－2
C．2 D．0
[答案]　B
[解析]　本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2
要善于观察，故选B.
7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝(　　)
A．0 B．－1
C．－60 D．60
[答案]　D
[解析]　∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9?(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60.
8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是(　　)
A．22cos2x－π4 B．cos2x－sin2x
C．sin2x＋cos2x D．22cos2x＋π4
[答案]　A
[解析]　y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′
＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－π4.
9．(2010?高二潍坊检测)已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为(　　)
A．3 B．2
C．1 D.12
[答案]　A
[解析]　由f′(x)＝x2－3x＝12得x＝3.
10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为(　　)
A．－15 B．0
C.15 D．5
[答案]　B
[解析]　由题设可知f(x＋5)＝f(x)
∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0)
又f(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x)
即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0
故f′(5)＝f′(0)＝0.故应选B.
二、题
11．若f(x)＝x，φ(x)＝1＋sin2x，则f[φ(x)]＝_______，φ[f(x)]＝________.
[答案]　2sinx＋π4，1＋sin2x
[解析]　f[φ(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2
＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4.
φ[f(x)]＝1＋sin2x.
12．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
[答案]　π6
[解析]　f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，
f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)
＝2sin3x＋φ＋5π6.
若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，
即0＝2sinφ＋5π6，∴φ＋5π6＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.
13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．
[答案]　32x(1＋2x2)7
[解析]　令u＝1＋2x2，则y＝u8，
∴y′x＝y′u?u′x＝8u7?4x＝8(1＋2x2)7?4x
＝32x(1＋2x2)7.
14．函数y＝x1＋x2的导数为________．
[答案]　(1＋2x2)1＋x21＋x2
[解析]　y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.
三、解答题
15．求下列函数的导数：
(1)y＝xsin2x；　　(2)y＝ln(x＋1＋x2)；
(3)y＝ex＋1ex－1；　　(4)y＝x＋cosxx＋sinx.
[解析]　(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′
＝sin2x＋x?2sinx?(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.
(2)y′＝1x＋1＋x2?(x＋1＋x2)′
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2 .
(3)y′＝(ex＋1)′(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)′(ex－1)2＝－2ex(ex－1)2 .
(4)y′＝(x＋cosx)′(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)′(x＋sinx)2
＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2
＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.
16．求下列函数的导数：
(1)y＝cos2(x2－x)；　 　(2)y＝cosx?sin3x；
(3)y＝xloga(x2＋x－1)；　(4)y＝log2x－1x＋1.
[解析]　(1)y′＝[cos2(x2－x)]′
＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]′
＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)′
＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)
＝(1－2x)sin2(x2－x)．
(2)y′＝(cosx?sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′
＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.
(3)y′＝loga(x2＋x－1)＋x?1x2＋x－1logae(x2＋x－1)′＝loga(x2＋x－1)＋2x2＋xx2＋x－1logae.
(4)y′＝x＋1x－1x－1x＋1′log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x＋1)2
＝2log2ex2－1.
17．设f(x)＝2sinx1＋x2，如果f′(x)＝2(1＋x2)2?g(x)，求g(x)．
[解析]　∵f′(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx?2x(1＋x2)2
＝2(1＋x2)2[(1＋x2)cosx－2x?sinx]，
又f′(x)＝2(1＋x2)2?g(x)．
∴g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.
18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)
(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．
[解析]　(1)解法1：设y＝f(u)，u＝1x，则y′x＝y′u?u′x＝f′(u)?－1x2＝－1x2f′1x.
解法2：y′＝f1x′＝f′1x?1x′＝－1x2f′1x.


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