山东省2013年高考数学理科试题(含答案)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。共4页，满分150分。考试用时150分钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1. 答题前，考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4. 题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.
参考公式:如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)；如果事件A，B独立，那么P（AB）=P(A)*P(B)
第Ⅰ卷 （共60分）
一、：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、复数 满足 为虚数单位），则 的共轭复数 为（ ）
（A）2+i （B）2-i （C）5+i （D）5-i
2、已知集合 ，则集合 中元素的个数是（ ）
（A）1 （B）3 （C）5 （D）9
3、已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 =（ ）
（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2
4、已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形，若P为底面 的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、若函数 的图像沿 轴向左平移 个单位，得到一个偶函数的图像，则 的一个可能取值为（ ）
（A） （B） （C）0 （D）
6、在平面直角坐标系 中， 为不等式组 ，所表示的区域上一动点，则直线 斜率的最小值为
7、给定两个命题 若 是 的必要而不充分条件，则 是 的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
8、函数 的图象大致为
(A) (B) (C) (D)
9、过点（3，1）作圆 作圆的两条切线切点为A，B，则直线AB的方程
（A） （B）
（C） （D）
10、用0,1， ，9十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为
（A）243 （B）252 （C）261 （D）279
11、抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线交 于第一象限的点M，若 在点M处的切线平行于 的一条渐近线，则
（B） （C） （D）
12、设正实数 满足 ，则当 取最大值时， 的最大值为
（A）0 （B）1 （C） （D）3
二、题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
13、执行右面的程序框图，若输入的 值为0.25，则输出的 的值为______________
14、在区间 上随机取一个数 ，使得 成立的概率为______________.
15、已知向量 与 的夹角1200，且 =3， =2，若 ，且 ，则实数 的值为____________.
16、 定义“正对数”: 现有四个命题：
①若
②若
③若
④若
其中真命题有____________.（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
17、 （本小题满分12分）
设 的内角 所对的边为 且
求 的值；
求 的值。
18、（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。
（Ⅰ）求证：AB//GH；
（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值
19、（本小题满分12分）
甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设每局比赛结果互相独立。
（Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率;
（Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分 的分布列及数学期望。
20、（本小题满分12分）
设等差数列｛ ｝的前n项和为 ，且 , 。
（Ⅰ）求数列｛ ｝的通项公式；
（Ⅱ）设数列｛ ｝的前n项和 ，且 （ 为常数），令 .求数列｛ ｝的前n项和 。
21、（本小题满分13分）
设函数 .
（Ⅰ）求 的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于 的方程 根的个数。
22、（本小题满分13分）
椭圆 的左、右焦点分别是 ,离心率为 ，过 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，连接 ,设∠ 的角平分线 交 的长轴于点 ，求 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 作斜率为 的直线 ，使得 与椭圆 有且只有一个公共点.设直线 的斜率分别为 ，若 ≠0，试证明 为定值，并求出这个定值。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)答案
一、
1、D 2、C 3、A 4、B 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、B 11、D 12、B
二、填空题
13、3 14、 15、 16、 ①③④
18、（Ⅰ）证明：由已知得EF, DC分别为 PAB和 QAB的中位线
所以EF//AB, DC//AB ,则EF//DC
又EF 平面PDC, DC 平面PDC
所以EF//平面PDC
又EF 平面QEF且平面QEF 平面PDC=GH
所以EF//GH
又因为EF//AB
所以AB//GH
（Ⅱ）解：因为AQ=2BD 且D为AQ中点
所以 ABQ为直角三角形，AB BQ
又PB 平面ABC, 则PB AB
PB BQ=B且PB 平面PBQ,BQ平面PBQ,
所以AB 平面PBQ
由（Ⅰ）知AB//GH
所以GH 平面PBQ
则GH FH, GH HC
所以 FHC即为二面角D-GH-E的平面角
由条件易知 PBC+ BFQ+ PQB+ FHC=2
且 BFQ= PQB，tan BFQ=2
所以cos FHC=cos（ —2 BFQ）=—2sin BFQcos BFQ=
19、解：（1）设“甲队以3:0胜利”为事件A；“甲队以3:1胜利”为事件B
“甲队以3:2胜利”为事件C
(2)根据题意可知 的可能取值为：“0,1,2,3”
乙队得分的 的分布列如图所示：：
0123
数学期望：
.
20.(Ⅰ)解:设等差数列{ }的首项为 ,公差为 ,
因为已知 ,
可得 ,即
整理得， ①
又因为 ,
当 时，
即， ②
①②联立可得
由于
所以， .
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得 ，且
将 带入，可得
①
当 时，
当 时， ②
①-②可得
所以
两式相减得
所以
21、解（1） ，
令 ，解得 ，令 ，解得
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
的最大值为
（2）令 ，
①当 时
，所以
在 时，函数 的值域为 ，函数 的值域为 ，所以在 上，恒有 ，即 ，所以 对任意 大于零恒成立，所以 在 上单调递增；
②当 时，
，所以 ，显然在 时有函数 恒成立，所以函数 在 时恒成立，所以 对任意 恒成立，所以 在 上单调递减；
由①②得，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 的最大值为
当 ，即 时，方程 有且只有一个根；
当 ，即 时，方程 有两个不等的根；
当 ，即 时，方程 没有根。
22、解答
（1）由已知的 ，且 ，解得
所以椭圆的标准方程为
（2）设 ，则 ,
在三角形 中，由正弦定理得
同理，在三角形 中，由正弦定理得
而且 ，所以
所以


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