3.4（3）函数的基本性质

3.4（3）函数的基本性质
一、目标设计
1、 理解函数最大、最小值的概念，掌握几种类型的函数最值的求法
2、学会“转化”的思维方法
3、让学生懂得数学既是从现实原型中抽象出来的，又随着数学本身的发展而逐步得到完善的，并树立严格定义的思维。

二、重点及难点
1．教学重点
理解函数最大、最小值的概念，求基本函数的最值；
2、教学难点
通过转化思想，把复杂函数转化成熟悉的基本函数，再求最值。
三、教学流程设计

四、教学过程设计
一、 情景引入
1．问题引入
动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？
设每间熊猫居室的宽为 米 ,熊猫居室的总面积为 平方米，则2间熊猫居室的总长为 米.
由题意得
下面，我们研究 取什么值时面积 才能达到最大值。用配方法把上式化为

因为 ，所以 ，即当 取 内任何实数时，面积 的值不大于75平方米. 又因为 ，而当 时， 取得75，所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米.
二、学习新课
1．概念讲解
函数的最大、最小值概念：（引导学生，让学生给出定义）
一般地，设函数 在 处的函数值是 ，如果对于定义域内任意 ，不等式 都成立，那么 叫做函数 的最小值，记作 ；如果对于定义域内任意 ，不等式 都成立，那么 叫做函数 的最大值，记作 。
2、图像上分析（提问的形式，让学生回答）
从函数图像来看，如果函数有最大值，那么函数图像中一定有位置最高的点，有的函数只有最大值没有最小值；有的函数只有最小值而没有最大值；有的函数既有最大值又有最小值；而有的函数既无最大值也无最小值。我们以后可以看到：如果一个函数的图像是条连续的曲线，那么这个函数在它的定义域里的某个闭区间上一定既有最大值又有最小值。
3、例题讲解
一、求下列二次函数的最大值或者最小值：


解：
因此，当 时，

因此，当 时，

当 时， 当 时，
当 时， ，所以
说明：通过配方可得 ，函数图像是抛物线的一段，其中含有抛物线的顶点，由于抛物线的开口向下，顶点位于图像的最高处，因此顶点所对应的函数值就是函数的最大值，由于顶点左边的图像是上升的，因此在所对应的区间上，函数是单调递增的，而顶点右边的图像是下降的，在所对应的区间上，函数是单调递减的，所以，函数在 上的最小值应由区间的端点所对应的函数值来定.

利用不等式性质，得
当 时，即 时， 取得最小值是 .
二、在 的条件下，求函数 的最大值和最小值.
解：由 ，解得 ，可知函数 的定义域是 . 又已知 ，因此需在 的条件下，求函数 的最大值和最小值.
因为 ，所以当 时，函数 为增函数，从而当 ，函数 .
又 时， ； 时， .
所以
利用不等式的性质，得
即
因此，当 时， ； 当 时， .

4、求函数的最大、最小值与值域的几种基本方法：
（1）研究函数的单调性等性质；（数形结合）
定义在区间 上的函数 ，如果函数 在 上是增（减）函数，那么这个函数的最大（小）值是 ，最小（大） 值是 。
（2）利用基本不等式 ；
（3）通过变量代换的数学思想方法，将函数转化为基本函数，但必须注意新变量的取值范围。

三、巩固练习
课本P 71 练习3.4 (3) 1，2
四、课堂小结
叫学生来总结这节课所学内容，老师在学生基础上再补充。
五、作业布置
课本P 71 练习3.4 (3) 3，4

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