映射函数定义域值域

一种特殊的对应：映射

（1） （2） （3） （4）
1．对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。

2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）

3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。

4．注意映射是有方向性的。

5．符号：f ： A B 集合A到集合B的映射。

6．讲解：象与原象定义。

再举例：1?A={1,2,3,4} B={3,4,5,6,7,8,9} 法则：乘2加1 是映射
2?A=N+ B={0,1} 法则：B中的元素x 除以2得的余数 是映射
3?A=Z B=N* 法则：求绝对值 不是映射（A中没有象）
4?A={0,1,2,4} B={0,1,4,9,64} 法则：f ：a b=(a?1)2 是映射

一一映射

观察上面的例图（2） 得出两个特点：

1?对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象 （单射）

2?集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象 （满射）
即集合B中的每一个元素都有原象。


从映射的观点定义函数（近代定义）：
1?函数实际上就是集合A到集合B的一个映射 f：A B 这里 A, B 非空。
2?A：定义域，原象的集合
B：值域，象的集合（C）其中C ? B
f：对应法则 x?A y?B
3?函数符号：y=f(x) —— y 是 x 的函数，简记 f(x)

函数的三要素： 对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
1． 解：不是同一函数，定义域不同
2。 解：不是同一函数，定义域不同
3。 解：不是同一函数，值域不同
4． 解：是同一函数
5． 解：不是同一函数，定义域、值域都不同

关于复合函数
　　设 f(x)=2x?3 g(x)=x2+2 则称 f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。
f[g(x)]=2(x2+2)?3=2x2+1
g[f(x)]=(2x?3)2+2=4x2?12x+11
例：已知：f(x)=x2?x+3 求：f( ) f(x+1)
解：f( )=( )2? +3 f(x+1)=(x+1)2?(x+1)+3=x2+x+3

1. 函数定义域的求法

??分式中的分母不为零；

??偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

??指数式的底数大于零且不等于一；

??对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

??正切函数

??余切函数

??反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)

函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 ，

函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，

函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是 ，

函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

注意，

1.复合函数的定义域。
如：已知函数 的定义域为（1，3），则函数 的定义域。

2.函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,
则函数 的定义域为 ，解不等式，最后结果才是

3.这里最容易犯错的地方在这里：
已知函数 的定义域为(1,3),求函数 的定义域；或者说，已知函数 的定义域为(3,4),
则函数 的定义域为______?

2. 函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,
对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.

（1）、直接观察法
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。
例 求函数 的值域

（2）、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数 的值域。

（3）、根判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简
如:

4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数 值域。
,分母不等于0,即

5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数 ， ， 的值域。

10.倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数 的值域

多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，
首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。


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