定积分

4.1.2 定积分
过程：
一．创设情景
复习：
1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：
分割→以直代曲→求和→取极限（逼近
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
二．新课讲授
1．定积分的概念 一般地，设函数 在区间 上连续，用分点

将区间 等分成 个小区间，每个小区间长度为 （ ），在每个小区间 上取一点 ，作和式：
如果 无限接近于 （亦即 ）时，上述和式 无限趋近于常数 ，那么称该常数 为函数 在区间 上的定积分。记为：
其中 成为被积函数， 叫做积分变量， 为积分区间， 积分上限， 积分下限。
说明：（1）定积分 是一个常数，即 无限趋近的常数 （ 时）称为 ，而不是 ．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割： 等分区间 ；②近似代替：取点 ；③求和： ；④取极限：
（3）曲边图形面积： ；变速运动路程 ；
变力做功
2．定积分的几何意义
说明：一般情况下，定积分 的几何意义是介于 轴、函数 的图形以及直线 之间各部分面积的代数和，在 轴上方的面积取正号，在 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．
分析：一般的，设被积函数 ，若 在 上可取负值。
考察和式
不妨设
于是和式即为
阴影 的面积―阴影 的面积（即 轴上方面积减 轴下方的面积）
2．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）
性质3 （定积分的线性性质）性质4
（定积分对积分区间的可加性）
说明：①推广：
②推广:
③性质解释：
三．典例分析
例1．计算定积分
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为 。
即：
思考：若改为计算定积分 呢？
改变了积分上、下限，被积函数在 上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）
四．课堂练习
计算下列定积分
1．
2．
五．回顾总结
1．定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．

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