求数列中几种类型的通项公式

求数列中几种类型的通项公式
制作：高二数学组
一、由递推关系求通项公式
（1）递推式为 = + 及 = （ 为常数）（可利用等差、等比数列来求）
例、⒈ 已知数列{ }满足 = +2，且 =1，求 .
⒉ 已知数列{ }满足 = ，且 =2，求 .

（2）递推式为 = + ，（ 需可求和）
例、已知数列{ }满足 = + ， =1，求 .

练习 已知数列{ }中， = ，且当 时 ，求通项公式

(3) 递推式为 = + （ 为常数）
例、已知数列{ }满足 =3 +2，且 =1，求 .
简解：法一、由已知得 =3 +2， =3 +2，相减得 - =3（ - ）即数列
{ - }是 =3的等比数列，所以 - =（ - ） 且 - =4，又 =3 +2，
代入可得 =2 -1
法二、由法一得{ - }是 =3的等比数列，则 - =4， - = 4 3， - = 4 ，…， - = 4 .以上n-1式累加得 - = 4（1+3+ + +…+ ）= ，所以可得 =2 -1
法三、由递推式 =3 + 2，得 + 1=3（ +1）即数列{ + 1}是公比为3的等比数列，且首项为 +1=2，所以 +1=2 ，即 =2 -1
练习 已知数列{ }满足 =2 -1，且 =2，求 .

（4）递推式为 = + （ 为常数）
例 已知数列{ }满足 = + ，且 = ，求 .
(提示：两边同时除以 转化为类型二来求)
练习 已知数列{ }满足 =2 + ，且 =1，求 .

（5）递推式为 =
例 在数列{ }中， =2， = ，求 .

练习 已知： =1， ，求 .

（6）递推式为 = (可先求倒数，转化成数列{ }来求)
例 已知数列{ }满足 =1， ，求 .

（7）其他 例 已知数列{ }满足： =1， ， （ ）令 。① 求证：数列{ }是等比数列，并求 ；②求 .

二、已知 之间的关系来求通项公式
利用公式 (n 2)，注意首项.
例 已知数列{ }满足 = +1，求 .

练习 已知数列{ }的前n项和为 ，满足 ，其中 ＞1，求数列{ }的通项公式。

三、已知 和 的关系求数列的通项公式
常用思路 1. 消 ，转化为 的关系，再求 （优先考虑）；
2. 消 ，转化为 的关系，先求 ，再求 。
利用公式 (n 2)，注意首项.
例 已知数列{ }的前n项和为 ，若对任意的 ，都有 =2 -3 .
① 求数列{ }的首项 及递推关系式 = ；②求通项公式 。

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