2012届高考数学难点突破复习 向量的概念与几何运算

第1课时 向量的概念与几何运算

1．向量的有关概念的：⑴ 既有 又有 的量叫向量． 的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．
⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．
⑶ 且 的向量叫相等向量．
2．向量的加法与减法
⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．
⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．
3．实数与向量的积
⑴ 实数 与向量 的积是一个向量，记作 ．它的长度与方向规定如下：
① ＝ ．
② 当 ＞0时， 的方向与 的方向 ； 当 ＜0时， 的方向与 的方向 ；当 ＝0时， ．
⑵ (μ )＝ ．( ＋μ) ＝ ． ( ＋ )＝ ．
⑶ 共线定理：向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．
4．⑴ 平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，使得 ．
⑵ 设 、 是一组基底， ＝ ， ＝ ，则 与 共线的充要条件是 ．

例1．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设 ， ，求 ．

变式训练1.如右图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量 等于（ ）
A．－ ＋ B．－ － C． － D． ＋
例2. 已知向量 ， ， ，其中 、 不共线，求实数 、 ，使 ．

例3. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若 ， ，试用 、 表示 和 ．


课时作业
1.如图所示，OADB是以向量 ＝ ， ＝ 为邻边的平行四边形，又 ＝ ， ＝ ，试用 、 表示 ， ， ．

2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：

课时小结
1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．
2．注意 与O的区别．零向量与任一向量平行．
3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证 ∥ ，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证 ∥ 即可．
4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．

第2课时 平面向量的坐标运算
1．平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底，对于一个向量 ，有且只有一对实数x、y，使得 ＝x ＋y ．我们把(x，y)叫做向量 的直角坐标，记作 ．并且 ＝ ．
2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．
3．平面向量的坐标运算：若 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，λ∈R，则： ＋ ＝ － ＝ λ ＝
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ ．
4．两个向量 ＝(x1、y1)和 ＝(x2、y2)共线的充要条件是 ．

例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且 ＝ ，求点C的坐标．

例2. 已知向量 ＝(cos ，sin )， ＝(cos ，sin )， － ＝ ，求cos(α－β)的值．

变式训练2.已知 －2 ＝(－3，1)，2 ＋ ＝(－1，2)，求 ＋ ．

例3. 已知向量 ＝(1, 2)， ＝(x, 1)， ＝ ＋2 ， ＝2 － ，且 ∥ ，
求x．

课后练习1.若 ， ，则 =
2.（2010陕西卷）已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2 ），若（a+b ）∥c，则m= 。
课时小结
1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．
2．向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．
第3课时 平面向量的数量积

1．两个向量的夹角：已知两个非零向量 和 ，过O点作 ＝ ， ＝ ，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°) 叫做向量 与 的 ．当θ＝0°时， 与 ；当θ＝180°时， 与 ；如果 与 的夹角是90°，我们说 与 垂直，记作 ．
2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为θ，则数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作 ? ，即 ? ＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若 ＝(x1, y1)， ＝(x2, y2)，则 ? ＝ ．
3．向量的数量积的几何意义： cosθ叫做向量 在 方向上的投影 (θ是向量 与 的夹角)．
? 的几何意义是，数量 ? 等于 ．
4．向量数量积的性质：设 、 都是非零向量， 是单位向量，θ是 与 的夹角．
⑴ ? ＝ ? ＝ ⑵ ⊥
⑶ 当 与 同向时， ? ＝ ；当 与 反向时， ? ＝ ．
⑷ cosθ＝ ．⑸ ? ≤
5．向量数量积的运算律：
⑴ ? ＝ ； ⑵ (λ )? ＝ ＝ ?(λ ) ⑶ ( ＋ )? ＝

例1. 已知 ＝4， ＝5，且 与 的夹角为60°，求：(2 ＋3 )?(3 －2 )．

变式训练1.已知 ＝3， ＝4， ＋ ＝5，求2 －3 的值．
例2. 已知向量 ＝(sin ，1)， ＝(1，cos )，－ ．(1) 若a⊥b，求 ；(2) 求 ＋ 的最大值
例3. 已知O是△ABC所在平面内一点，且满足( － )?( ＋ －2 )＝0，判断△ABC是哪类三角形．
变式训练3：若 ，则△ABC的形状是 .

课时作业
1.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为 ， ， 则 ( ) A. B. C. 4 D.2
2.（2010安徽卷理3文3）设向量 ， ，则下列结论中正确的是
A、 B、 C、 与 垂直D、 ∥
3.（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量 、 、 满足 ，则 ( )
A．150° B.120° C.60° D.30°

课时小结
1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．
2．注意 ? 与ab的区别． ? ＝0≠＞ ＝ ，或 ＝ ．
3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合．
第4课时 线段的定比分点和平移
1． 设P1P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ使 ＝λ ，λ叫做 ．
2．设P1（x1、y1），P2（x2、y2），点P（x、y）分 的比是λ时，定比分点坐标公式为： ，中点坐标公式： 。
3． 平移公式：将点P（x、y）按向量 ＝（h、k）平移得到点P'（x'，y'），则 ．

例1.已知点A(－1, －4)，B(5, 2)，线段AB上的三等分点依次为P1、P2，求P1、P2的坐标及A、B分 所成的比.

变式训练1.设AB＝5，点p在直线AB上，且PA＝1，则p分 所成的比为 ．
例2. 将函数y＝2sin（2x＋ ）＋3的图象C进行平移后得到图象C'，使C上面的一点P（ ，2）移至点P'（ ，1），求图像C'对应的函数解析式．

变式训练2：若直线2x－y＋c＝0按向量 ＝(1, －1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则c的值为 （ ）
A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8
例3. 设 ＝(sinx－1, cosx－1)， ，f (x)＝ ，且函数y＝f (x)的图象是由y＝sinx的图象按向量 平移而得，求 .


变式训练3：将y＝sin2x的图象向右按 作最小的平移，使得平移后的图象在[kπ＋ , kπ＋π] (k∈Z)上递减，则 ＝ ．

课时作业：
1.(2009湖北卷理)函数 的图象 按向量 平移到 , 的函数解析式为 当 为奇函数时，向量 可以等于( )


2.（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或 = + ，其中 ， R ，则 + = _________.

在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比 ．2．平移公式反映了平移前的点P(x、y)和平移后的点P'(x'、y')，及向量 ＝(h，k)三者之间的关系．它的本质是 ＝ ．平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆．
第5课时 解三角形
一、基础知识
1．正弦定理：
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；
⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．
2．余弦定理：
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．
⑴ 已知三边，求三角；⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角．
3．三角形的面积公式：
二、典型例题
例1. 在△ABC中，已知a＝ ，b＝ ，B＝45°，求角A、C及边c．

例2. 在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
变式训练1：在△ABC中，sinA= ，判断这个三角形的形状.
例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C．
变式训练2：已知△ABC中，2 （sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为 .（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值.

例4.（2010浙江 卷文18）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足 。（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求 的最大值。
变式训练3：在在△ABC中， 所对的边分别为 ，，且
（1）求 的值； （2）若 ，求 的最大值；
三、课后练习：
(1) 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）
A. B.
C. D.
（3）在△ABC中，已知 ， ，则 的值为（ ）
A B C 或 D
（4）若钝角三角形三边长为 、 、 ，则 的取值范围是 ．
（5）在△ABC中， = ．
四、课时小结
1．已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意．
2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择．
3．对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题


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