2012届高考数学三角函数、三角变换、解三角形、平面向量备考复习

专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

【备考策略】
根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：
1．掌握三角函数的概念、图象与性质；熟练掌握同角公式、诱导公式、和角与差角、二倍角公式，且会推导掌握它们之间的内在联系。掌握正弦、余弦定理，平面向量及有关的概念，向量的数量积以及坐标形式的运算。
2．熟练掌握解决以下问题的思想方法
本专题试题以选择题、填空题、解答题的形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊方法，如数形结合法、函数法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等。另外对有些具体问题还要掌握和运用一些基本结论（如对正弦、余弦函数的图象的对称轴经过最高点或最低点，对称中心为三角函数值为零的点，应熟练的写出对称轴的方程及对称中心的坐标；应用三角函数线解三角方程、比较三角函数值的大小；对三角函数的角的限制及讨论；常数1的代换等）。
3．特别关注
（1）与三角函数的图象与性质有关的选择、填空题；
（2）向量、解三角形以及三角函数的图象与性质等知识交汇点命题；
（3）与测量 、距离、角度有关的解三角形问题。

第一讲 三角函数的图象与性质

【最新考纲透析】
1．了解任意角、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。
2．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
3．能利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，了解三角函数的周期性。
4．理解正弦函数、余弦函数在区间[0， ]的性质（如单调性、最大值和最小值以及图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间 的单调性。
5．理解同角三角函数的基本关系式：
sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx.
6．了解函数y=Asin(ωx+φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响。
7．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。
【核心要点突破】
要点考向1：三角函数的概念、同角诱导公式的简单应用
考情聚焦：1．三角函数的定义、同角三角函数的关系及诱导公式的简单应用，在近几年高考中时常出现。
2．该类问题出题背景选择面广，易形成知识交汇题。
3．多以选择题、填空题的形式出现，属于中、低档题。
考向链接：1．三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值。
2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件。
例1：（2010届?日照五莲一中高三段检）如图，以Ox为始边作角α与β（ ） ，它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（ ， ）

（1）求 的值；
（2）若 ? ，求 。
解：（1）由三角函数定义得 ，
∴原式
?（ ） =
（2） ? ，∴
∴ ，∴

要点考向2：函数y=Asin(ωx+φ)的解析式、图象问题
考情聚焦：1．三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式的问题，年看都会在高考中出现。
2．试题背景大多是给出图象或解析式中某些量满足的一些条件下，求解析式或另处一些量。多数考 查周期、频率、振幅、最值、对称中心、对称轴等概念以及图象的变换。
3．三种题型都有可能出现，属于中、低档题。
考向链接：1． 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)（A＞0，ω＞0）的解析式时，常用的方法是待定系数法。 由图中的最大、最小值求出A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ的值。
2． 将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点。“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为 ，其他依次类推即可。
例2：已知 是实数，则函数 的图象不可能是 ( )

【解析】选D.对于振幅大于1时，三角函数的周期为 ，而D不符合要求，
它的振幅大于1，但周期反而大于了 ．
要点考向3：与三角函数的性质有关的问题
考情聚焦：1．有关三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值问题在历年高考中都会考查，是高考考查的重点内容。
2．试题背景呈现多样性、选择面广，往往与三角恒等变换、图象性质、平面向量等交汇命题。
3．三种题型都有可能出现，属中、低档题。
例3：已知函数
⑴求 的最小正周期及对称中心；
⑵若 ，求 的最大值和最小值.
【解析】⑴
∴ 的最小正周期为 ，
令 ，则 ，
∴ 的对称中心为 ；
⑵∵ ∴ ∴ ∴
∴当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最大值为

【高考真题探究】
1．（2010?陕西高考理科?Ｔ3）对于函数 ，下列选项中正确的是（ ）
（A） 在（ ， ）上是递增的 （B） 的图像关于原点对称
（C） 的最小正周期为2 （D） 的最大值 为2
【命题立意】本题考查倍角公式、三角函数的基本 性质，属保分题。
【思路点拨】 是奇函数 B
【规范解答】选B 因为 ，所以 是奇函数，因而 的图像关于原点对称，故选B
2．（2010?全国卷Ⅰ理科?Ｔ2）记 ,那么
A. B. - C. D. -
【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，着重考查了三角变换中的弦切互化.
【思路点拨】由 及 求出 ，再利用公式
求出 的值.
【规范解答】选B.【解析1】 ,
所以
【解析2】 ，
.
3．（2010?重庆高考文科?Ｔ１5）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等。设 第i段弧所对的圆心角为 （i=1,2,3），则

【命题立意】本小题考查圆的性质等基础知识，考查三角函数的基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合的思想方法，考查化归与转化的思想.
【思路点拨】第i段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角，再根据三个圆心确定的正三角形求解.
【规范解答】 作三段圆弧的连心线，连结一段弧的两个端点，如图 所示,△ 是正三角形，点P是其中心，根据圆的有关性质可知 ，第i段弧所对的圆心角为 都是 ，
所以

【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快捷解答.
4．（2010?福建高考文科?Ｔ１0）将函数 的图像向左平移 个单位。若所得图象与原图象重合，则 的值不可能等于（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
【命题立意】本题考查三角函数的图像平移，解三角方程。
【思路点拨】先进行平移后，再比较与原函数的差异，解三角方程，或采用代入法求解。
【规范解答】选B，把向左平移 个单位得 ，
又该函数图像与原函数图像重合，所以 恒成立， ， ，所以k不可能为6。
【方法技巧】注意应把 变为 而非 。图像的变换问题，依据三角函数的图像的变换口诀“左加右减，上加下减”即可解决。 一般地，函数 的图象，可以看作把曲线 上所有点向左(当 ＞0时)或向右(当 ＜0时)平行移动 个单位长度而得到。
5．（2010?广东高考文科?Ｔ16）设函数 ， ， ，
且以 为最小正周期．
（1）求 ；
（2）求 的解析式；
（3）已知 ，求 的值．
【命题立意】本题考察三角函数的性质以及三角变换.
【思路点拨】（2）由已知条件求出 ，从而求出 的解析式；
（3）由
【规范解答】（1）
（2） ， ，所以 的解析式为：
（3）由 得 ，即
，
【方法技巧】三角函数的性质问题，往往都要先化成 的形式再求解.
6．（2010?湖北高考文科?Ｔ16）已经函数

(Ⅰ)函数 的图象可由函数 的图象经过怎样的变化得出？
（Ⅱ）求函数 的最小值，并求使 取得最小值的 的集合。
【命题立意】本题主要考查三角函数式的恒等变换、图象变换以及求三角函数的最值，同时考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】(Ⅰ) 先将函数解析式等价变形为 的形式，再与 的表达式对照，比较它们的振幅、周期、相位等写出变化过程。
（Ⅱ）将函数 变形为 或 的形式再利用正、余弦函数的图象和性质求出最值。
【规范解答】(Ⅰ) ，所以要得到 的图象只需把 的图象向左平移 个单位长度，再将所得的图象向上平移 个单位长度即可。
（Ⅱ） ，
当且仅当 时 取得最小值 ，此时对应的 的集合为 。
【方法技巧】1、三角函数中的图象变换问题一般要先将表达式化简到 或 的形式（两函数所用三角函数要同名），然后再通过比较两函数的振幅、周期、相位等写出变化过程。
2、三角函数中的最值问题一般要先借用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式等化到 或 的形式，然后结合三角函数的图像和性质求解。

【跟踪模拟训练】
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分 36分）
1.已知△ABC中， ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
2.下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.已知 ，那么角 是（　　）
Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角
4．已知函数 ，则要得到其导函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
（A）向左平移 个单位 （B）向右平移 个单位
（C）向左平移 个单位 （D）向右平移 个单位
5．若将函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于点（ ，0）对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ， 的图像与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 的单调递增区间是 ( )
（A） （B）
（C） （D）

二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7．若 ，则 .
8．（2010?苏、锡、常、镇四市高三调研）函数 的最小正周期为 ．
9．函数 （ 为常数， ）在闭区间 上的图象如图所示，则 = .
三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分 ，总分46分）
10． (本小题满分12分）
已知向量 与 互相垂直，其中 ．
（1）求 和 的值；
（2）若 ，求 的值.
11．（2010?广州高三六校联考）
已知函数 的部分图象如图所示.

（1）求函数 的解析式；
（2）令 ，判断函数 的奇偶性，并说明理由.
12．已知向量
（1）若 求x的值；
（2）函数 ，若 恒成立，求实数c的取值范围．

参考答案
一、选择题
1．【解析】选D.由 知A为钝角，cosA<0排除A和B，再由 选D.

2．【解析】选C.因为 ，由于正弦函数 在区间 上为递增函 数，因此 ，即 .

3．【解析】选C.

4．【解析】选C .方法1：

方法2 ：

故选C。

5．【解析】选A.将函数 的图象向右平移 个单位后得到的函数为
，
由
令

6．【解析】选C. ，由题设 的周期为 ，∴ ，
由 得， ，故选C
二、填空题
7．【解析】由题意可知 在第三象限，∴ ，
答案：

8．答案：

9．【解析】因为 ， ，所以 .
答案：3

三、解答题
10．【解析】（1）∵ 与 互相垂直，则 ，即 ，代入 得 ，又 ，∴ .
（2）∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ .

11．【解析】（1）由图象知
的最小正周期 ,故
将点 代入 的解析式得 ,又 , ∴
故函数 的解析式为
(2)
，
故 为偶函数.

12．解析：（1）

由

因此
（2）

则 恒成立，得


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