题型十 含参数不等式的恒成立问题
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1．已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.
(1)设a＝1，求函数f(x)的极值；
(2)若a>14，且当x∈[1,4a]时，f′(x)≤12a恒成立，试确定a的取值范围．
2．(2011?湖北)设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；
(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1
答案
1．解 (1)当a＝1时，对函数f(x)求导数，得f′(x)＝3x2－6x－9.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
列表讨论f(x)、f′(x)的变化情况：
x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x) ?
极大值6
极小值－26
所以f(x)的极大值是f(－1)＝6，极小值是f(3)＝－26.
(2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于直线x＝a对称．
若14
从而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)＝3－6a－9a2，最大值是f′(4a)＝15a2.
由f′(x)≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a，
于是有f′(1)＝3－6a－9a2≥－12a，且f′(4a)＝15a2≤12a.
由f′(1)≥－12a，得－13≤a≤1；
由f′(4a)≤12a，得0≤a≤45.
所以a∈14，1∩－13，1∩0，45，
即a∈14，45.
若a>1，则f′(a)＝12a2>12a，故当x∈[1,4a]时f′(x)≤12a不恒成立．
所以使f′(x)≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是14，45.
2．解 (1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3.
由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，
故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，
由此得8＋8a＋2b＋a＝0，12＋8a＋b＝1， 解得a＝－2，b＝5.
所以切线l的方程为x－y－2＝0.
(2)由(1)得f(x)＝x3－4x2＋5x－2，
所以f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x.
依题意，方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－14.
又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)
特别地，取x＝x1时，f(x1)＋g(x1)－mx1<－m恒成立，得m<0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0.故0
对任意的x∈[x1，x2]，有x－x2≤0，x－x1≥0，x>0，
所以f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0.
又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，
所以函数f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0.
于是当m<0时，对任意的x∈[x1，x2]，
f(x)＋g(x)
综上所述，m的取值范围是－14，0.
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