对称问题

高考要求
　　1．掌握求已知曲线的轴对称曲线和中心对称曲线方程的方法：结合曲线对称的定义，用求曲线方程的方法求对称曲线的方程(归结为点的对称)
2．掌握判断曲线关于几种特殊直线对称的方法:①y=x; ②x轴;③y轴
知识点归纳
1 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题
设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）
2 点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” 利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标 一般情形如下：
设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有
，可求出x′、y′
特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）
3 曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化） 一般结论如下：
（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2a－x，2b－y）=0
（2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：
设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P′（y，x），则由（2）知，P与P′的坐标满足
从中解出x0、y0，
代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0 利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程
4 两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：
（1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）；
（2）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）；
（3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）；
（4）点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）；
（5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（－y，－x）
题型讲解
例1 求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程
分析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180°，一定与b重合 使用这些性质，可以找出直线b的方程 解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程
解：由 ，解得a与l的交点E（3，－2），E点也在b上
方法一：设直线b的斜率为k，
又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－
则 =
解得k=－
代入点斜式得直线b的方程为
y－（－2）=－ （x－3），
即2x+11y+16=0
方法二：在直线a：2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），
由 解得B（ ，－ ）
由两点式得直线b的方程为
= ，
即2x+11y+16=0
方法三：设直线b上的动点P（x，y）关于l：3x+4y－1=0的对称点Q（x0，y0），则有
解得x0= ，y0=
Q（x0，y0）在直线a：2x+y－4=0上，
则2× + －4=0，
化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程
方法四：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，4－2x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y－1=0对称，则有

消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）
点评：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题
例2 光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程
分析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称
解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上，
同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，
∴k = =－2
故所求直线方程为y－6=－2（x+2），
即2x+y－2=0
点评：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透
例3 已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小
分析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ的周长最小
解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1） 同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（－3，5）
据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7=0
令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0， ）
解方程组 得交点P（ ， ）
故点P（ ， ）、Q（0， ）即为所求
点评：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果
例4 若抛物线 上总存在关于直线 的异于交点的两个对称点，试求实数 的取值范围
解法一：（对称曲线相交法）
曲线 关于直线 对称的曲线方程为
如果抛物线 上总存在关于直线 对称的两点，则两曲线
与 必有不在直线 上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由：

∵　 　
∴　
代入 得　 有两个不同的解，
∴　
解法二：（对称点法）
设抛物线 上存在异于于直线 的交点的点 ，且 关于直线 的对称点 也在抛物线 上
则
必有两组解
(1)-(2)得
必有两个不同解
∵ ，
∴ 有解
从而有 有两个不等的实数解
即 有两个不等的实数解
∴
∵ ，
∴
解法三：（点差法）
设抛物线 上以 为端点的弦关于直线 对称，且以 为中点是抛物线 （即 ）内的点
从而有　
由
(1)-(2)得 　
∴　
由
从而有　
例5 试确定 的取值范围，使得椭圆 上有不同两点关于直线 对称
解：设椭圆 上以 为端点的弦关于直线 对称，且以 为中点是椭圆 内的点
从而有　
由
(1)-(2)得 　
∴　
由
由 在直线 上
从而有　
小结：
1 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理
2 许多问题都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等
3 对称问题除了用中点坐标公式及斜率关系来求以外，还可以用求轨迹的思想??代入法来求解
学生练习
1 已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为
A （a，b） B （b，a）C （－a，－b） D （－b，－a）
解析：N（a，－b），P（－a，－b），则Q（b，a）．
答案：B
2 曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是
A y2=8－4x B y2=4x－8 C y2=16－4x D y2=4x－16
解：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4－x，y） 因为Q（4－x，y）在曲线y2=4x上，所以y2=4（4－x），即y2=16－4x
答案：C
3 已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是
A = B p=－5 C m=－n且p=－5 D =－ 且p=－5
解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（－x）+my+5=0，即x－my－5=0，与l2比较，∴m=－n且p=－5 反之亦验证成立
答案：C
4 点A（4，5）关于直线l的对称点为B（－2，7），则l的方程为______
解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线
答案：3x－y+3=0
5 设直线x+4y－5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y－3=0对称的直线的倾斜角是____________
答案：π－θ
6．一个以原点为圆心的圆与圆x2+y2+8x─4y=0关于直线l对称,则直线l的方程是
答案：2x─y+5=0
7．直线y=3x─4关于点P(2,─1)对称的直线l的方程是
答案：3x─y─10=0 用求方程的方法或几何性质(平行)均可
8．方程x2+y2+2ax─2ay=0所表示的圆的对称轴方程为
答案：x+y=0提示：点(x,y)与点(─y,─x)关于直线x+y=0对称
9．如果直线ax─y+3=0与直线3x─y─b=0关于直线x─y+1=0对称，则a= , b=
答案：1/3, 5 说明：掌握k=±1时，求对称点的方法
10 已知圆C与圆 关于直线y=－x对称，则圆C的方程为
A （x+1）2+y2=1 B x2+y2=1 C x2+（y+1）2=1 D x2+（y－1）2=1
解：由M（x，y）关于y=－x的对称点为（－y，－x），即得x2+（y+1）2=1
答案：C
11 与直线x+2y－1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为
A 2x－y－5=0 B x+2y－3=0 C x+2y+3=0 D 2x－y－1=0
解：将x+2y－1=0中的x、y分别代以2－x，－2－y，得（2－x）+2（－2－y）－1=0，即x+2y+3=0 故选C
答案：C
12 两直线y= x和x=1关于直线l对称，直线l的方程是____________
解：l上的点为到两直线y= x与x=1距离相等的点的集合，即 =｜x－1｜，化简得x+ y－2=0或3x－ y－2=0
答案：x+ y－2=0或3x－ y－2=0
13 直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是____________
解：易知A（4，－1）、B（3，4）在直线l：2x－y－4=0的两侧 作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大
答案：（5，6）
14 已知曲线C：y=─x2+x+2关于点(a,2a)对称的曲线是C/,若C与C/有两个不同的公共点,求a的取值范围
解：曲线C/的方程为y=x2+(1─4a)x+(4a2+2a─2),联立C与C/的方程并消去y得：x2─2ax+2a2+a─2=0, 由Δ>0得：─215．自点A(─3,3)发出的光线 射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆x2+y2─4x─4y+7=0相切，求光线 与m所在的直线的方程
解：圆C：(x─2)2+(y─2)2=1关于x轴的对称圆C/的方程是(x─2)2+(y+2)2=1 设光线 所在的直线方程是y─3=k(x+3),依题意,它是圆C/的切线，从而点C/到直线 的距离为1,∴ =1,解得：k=─3/4或k=─4/3, ∴ 的方程是3x+4y─3=0或4x+3y+3=0,同理求过点A/(─3,─3)的圆C的切线方程,得m的方程为3x─4y─3=0或4x─3y+3=0
16．已知两曲线y=─x2+4x─2与y2=x关于直线 对称,求直线 的方程
解：抛物线y=─x2+4x─2的顶点坐标P1(2,2),抛物线y2=x的顶点为Q(0,0),
∴直线 就是PQ的垂直平分线x+y─2=0
17 求函数y= + 的最小值
解：因为y= + ，
所以函数y是x轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，3）距离之和 y的最小值就是PA+PB的最小值 由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A ′（0，－3），则PA+PB的最小值等于A′B，
即 =4 所以ymin=4
18 若抛物线y=2x2上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称且x1x2=－ ，求m的值
解：设直线AB的方程为y=－x+b，代入y=2x2得2x2+x－b=0，
∴x1+x2=－ ，x1x2= =－ ∴b=1，即AB的方程为y=－x+1
设AB的中点为M（x0，y0），则x0= =－ ，代入y0=－x0+1，

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