2013年高三数学理科二模试卷（静安等区有答案）

2013年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(理科) 2013.04.
（满分150分，答题时间120分钟）
一、题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知全集 ，集合 ，则 .
2．若复数 满足 （ 是虚数单位），则 .
3．已知直线 的倾斜角大小是 ，则 .
4．若关于 的二元一次方程组 有唯一一组解，则实数 的取值范围
是 .
5．已知函数 和函数 的图像关于直线 对称，则函数 的解析式为 .
6．已知双曲线的方程为 ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 .
7．函数 的最小正周期 .
8．若 展开式中含 项的系数等于含 项系数的8倍，则正整数 .
9．执行如图所示的程序框图，若输入 的值是 ，则输出 的值是 .
10．已知圆锥底面半径与球的半径都是 ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 ．
11．某中学在高一年级开设了 门选修课，每名学生必须参加这 门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙 名学生，这 名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)．
12．各项为正数的无穷等比数列 的前 项和为 ，若 ， 则其公比 的取值范围是 .
13．已知两个不相等的平面向量 ， ( )满足 ＝2，且 与 － 的夹角为120°，则 的最大值是 .
14．给出30行30列的数表 ： ，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数 按顺序构成数列 ，存在正整数 使 成等差数列，试写出一组 的值 .
二、（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15．已知 ， ，则 的值等于………………………（ ）
（A） ． （B） ． （C） ． （D） ．
16．已知圆 的极坐标方程为 ，则“ ”是“圆 与极轴所在直线相切”的 ………………………………………………………………………………（ ）
（A）充分不必要条件．（B）必要不充分条件．（C）充要条件．（D）既不充分又不必要条件．
17． 若直线 经过点 ，则 …………………………（ ）
（A） ． （B） ． （C） ． （D） ．
18．已知集合 ，若对于任意 ，存在 ，使
得 成立，则称集合 是“ 集合”. 给出下列4个集合：
① ②
③ ④
其中所有“ 集合”的序号是……………………………………………………（ ）
（A）②③ ． （B）③④ ． （C）①②④． （D）①③④．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
在棱长为 的正方体 中， 分别为 的中点．
（1）求直线 与平面 所成角的大小；
（2）求二面角 的大小．
20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．
如图所示，扇形 ，圆心角 的大小等于 ，半径为 ，在半径 上有一动点 ，过点 作平行于 的直线交弧 于点 ．
（1）若 是半径 的中点，求线段 的大小；
（2）设 ，求△ 面积的最大值及此时 的值．
21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．
已知函数 ．
（1）若 是偶函数，在定义域上 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）当 时，令 ，问是否存在实数 ，使 在 上是减函数，在 上是增函数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由．
22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知点 ， 、 、 是平面直角坐标系上的三点，且 、 、 成等差数列，公差为 ， ．
（1）若 坐标为 ， ，点 在直线 上时，求点 的坐标；
（2）已知圆 的方程是 ，过点 的直线交圆于 两点， 是圆 上另外一点，求实数 的取值范围；
（3）若 、 、 都在抛物线 上，点 的横坐标为 ，求证：线段 的垂直平分线与 轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．
23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知数列 的前 项和为 ，且满足 ( )， ，设 ， ．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）若 ≥ ， ，求实数 的最小值；
（3）当 时，给出一个新数列 ，其中 ，设这个新数列的前 项和为 ，若 可以写成 ( 且 )的形式，则称 为“指数型和”．问 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．
2013年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(理科)
参考答案及评分标准 2013.04
说明
1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．
4．给分或扣分均以1分为单位．
一．题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5． ； 6． ；
7．（文、理） ；8．（文）4（理） ；9． ；10． ；11．（文） （理） ；12． ；13．（文） （理） ；14．（文）②③⑤（理） ． ②
二、（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15． D ； 16．（文）B （理）A ； 17． B ；18．（文）C（理）A
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．
(文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是 米，高是 米
所以这个四棱锥冷水塔的容积是 ．
(2)如图，取底面边长的中点 ，连接 ，
答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．
（理）
19．（1）（理）解法一：建立坐标系如图
平面 的一个法向量为
因为 ， ，
可知直线 的一个方向向量为 ．
设直线 与平面 成角为 ， 与 所成角为 ，则
19（1）解法二： 平面 ，即 为 在平面 内的射影，故 为直线 与平面 所成角，
在 中， ,
19（2）（理科）
解法一：建立坐标系如图．平面 的一个法向量为
设平面 的一个法向量为 ，因为 ，
所以 ，令 ，则
由图知二面角 为锐二面角，故其大小为 ．
19（2）解法二：过 作平面 的垂线，垂足为 ， 即为所求
，过 作 的垂线设垂足为 ， ∽
即
在 中
所以二面角 的大小为 ．
20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．
解:（1）在△ 中， ，
由
得 ，解得 ．
（2）∵ ∥ ，∴ ，
在△ 中，由正弦定理得 ，即
∴ ,又 ．
（文）记△ 的周长为 ，则
=
∴ 时， 取得最大值为 .
（理）解法一：记△ 的面积为 ，则 ，
∴ 时， 取得最大值为 .
解法二：
即 ，又 即
当且仅当 时等号成立,
所以
∴ 时， 取得最大值为 .
21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．
（文）解：(1)依题意， ， ，
由 ，得 ，
设 ，
∴ ；
(2)如图，由 得 ，
依题意， ，设 ，线段 的中点 ，
则 ， ， ，
由 ，得 ，∴
（理）解:（1） 是偶函数，
即 ，
又 恒成立即
当 时
当 时， ，
当 时， ，
综上：
（2）
是偶函数，要使 在 上是减函数在 上是增函数，即 只要满足在区间 上是增函数在 上是减函数．
令 ，当 时 ； 时 ，由于 时，
是增函数记 ，故 与 在区间 上有相同的增减性，当二次函数 在区间 上是增函数在 上是减函数，其对称轴方程为 ．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
（文）解:（1） 过原点，
得 或
(2)(3)同理21
（理）解（1） ，所以 ，设
则 ，消去 ，得 ，…（2分）
解得 ， ,所以 的坐标为 或
（2）由题意可知点 到圆心的距离为 …（6分）
（?）当 时，点 在圆上或圆外， ，
又已知 ， ，所以 或
（?）当 时，点 在圆内，所以 ，
又已知 ， ，即 或
结论：当 时， 或 ；当 时， 或
（3）因为抛物线方程为 ，所以 是它的焦点坐标，
点 的横坐标为 ，即
设 ， ，则 ， ， ，
所以
直线 的斜率 ，则线段 的垂直平分线 的斜率
则线段 的垂直平分线 的方程为
直线 与 轴的交点为定点
23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
（文）解：（1）令 得 ，即 ；
又
（2）由 和
，
所以数列 是以2为首项， 为公差的等差数列，所以 ．
解法一：数列 是正项递增等差数列，故数列 的公比 ，若 ，则由 得 ，此时 ，由 解得 ，所以 ，同理 ；若 ，则由 得 ，此时 组成等比数列，所以 ， ，对任何正整数 ，只要取 ，即 是数列 的第 项．最小的公比 ．所以 ．………（10分）
解法二: 数列 是正项递增等差数列，故数列 的公比 ，设存在 组成的数列 是等比数列，则 ，即
因为 所以 必有因数 ，即可设 ，当数列 的公比 最小时，即 ， 最小的公比 ．所以 ．
（3）由（2）可得从 中抽出部分项 组成的数列 是等比数列，其中 ，那么 的公比是 ，其中由解法二可得 ．
，
所以
（理）解：（1） ， ， ，当 时，
=2，所以 为等比数列．
， ．
（2） 由（1）可得
；
， ，
所以 ，且 ．所以 的最小值为
（3）由（1）当 时，
当 时， ， ，
所以对正整数 都有 ．
由 ， ，( 且 )， 只能是不小于3的奇数．
①当 为偶数时， ，
因为 和 都是大于1的正整数，
所以存在正整数 ，使得 ， ，
, ，所以 且 ，相应的 ，即有 ， 为“指数型和”；


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