向量的加法运算及其几何意义

j.Co M
临清三中数学组
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义

目标：
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
学 法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学过程：
一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
（4）船速为 ，水速为 ，则两速度和：
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点 ，作 ＝a， ＝ｂ，则向量 叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ ，规定： a + 0-= 0 + a
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量 与 不共线时， + 的方向不同向，且 + < + ；
（3）当 与 同向时，则 + 、 、 同向，且 + = + ，当 与 反向时，若 > ，则 + 的方向与 相同，且 + = - ；若 < ，则 + 的方向与 相同，且 +b= - .
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量 、 ，求作向量 +
作法：在平面内取一点，作 ，则 .
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中 + 的结果与 + 是否相同？ 验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律： + = +
５．向量加法的结合律：( + ) + = + ( + )
证：如图：使 ， ，
则( + ) + = ， + ( + ) =
∴( + ) + = + ( + )
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P94?95）略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、注意： + ≤ + ，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第２、３题
六、板书设计（略）
临清三中数学组
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义

课前预习学案
预习目标：
通过复习提问回顾向量定义及有关概念；利用问题情景提出向量加法运算、给出实际背景。
预习内容：
1、复习：提问向量的定义以及有关概念。

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和： 。
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和： 。
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和： 。
（4）船速为 ，水速为 ，则两速度和：
。

3、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容


课内探究学案
学习目标
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
学习过程：
１、向量的加法： 叫做向量的加法.
２、三角形法则（“ ”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点 ，作 ＝a， ＝ｂ，则向量 叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ ，规定： 。
探究：（1）两相向量的和仍是 ；
（2）当向量 与 不共线时， + 的方向 ，且 + + ；
（3）当 与 同向时，则 + 、 、 且 + + ，当 与 反向时，若 > ，则 + 的方向与 相同，且 + - ；若 < ，则 + 的方向与 相同，且 +b - .
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例1、已知向量 、 ，求作向量 +
作法：

４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中 + 的结果与 + 是否相同？

从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：
５．向量加法的结合律：
证：

6、应用举例：
例二（P94?95）

练习：P95

课后练习与提高

1、一艘船从A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为 ，求水流的速度.
2、一艘船距对岸 ，以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 ，船的实际航行的速度的大小为 ，方向与水流间的夹角是 ，求 和 .
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是 km/h，最小是 km/h
５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60 ，F=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

参考答案：略

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