不等式的概念与性质

高考要求
掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些概念解决一些简单问题
知识点归纳
1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

2．不等式的性质：
（1） ， （反对称性）
（2） ， （传递性）
（3） ，故 （移项法则）
推论： （同向不等式相加）
（4） ，
推论1：
推论2：
推论3：
不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强
题型讲解
例1 已知三个不等式：①ab>0 ②bc>ad ③ > ,以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题
解：可以组成下列3个命题
命题一：若ab>0， > , 则bc>ad
命题二：若ab>0，bc>ad 则 > ,
命题三：若 > , bc>ad 则ab>0
由不等式的性质得知这三个命题均为真命题
例2有三个条件：（1）ac2>bc2；(2) ＞ ；(3)a2>b2，其中能分别成为a>b的充分条件的个数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：（1）由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故ac2>bc2是a>b的充分条件 （2）c<0时，ab的充分必要条件，故答案选B
例3 若a>b>1，P= ， Q= (lg a +lg b ),R=lg( ),试比较P ，Q， R的大小
解：∵a>b>1，∴lg a> lg b>0，
∴ < ，即P又∵ < ，∴ < lg( )，
∴ < lg( )，即Q例4 设f(x)=ax2+bx,且1≤f(－1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ,求f(－2)的取值范围
分析：因为f(－1)=a－b, f(1)=a+b,而1≤a－b≤2, 2≤a+b≤4;又a+b与a－b中的a,b不是独立的，而是相互制约的，因此，若将f(－2)用a－b与a+b,表示，则问题得解
解：设f(－2)=m f(－1)+n f(1), (m,n为代定系数)
则4a－2b=m(a－b)+n(a+b)
即4a－2b=（m+n）a－(m－n)b,
于是得 得：m=3, n=1
∴f(－2)=3 f(－1)+ f(1)
∵1≤f(－1) ≤2, 2≤f(1) ≤4
∴5≤3f(－1)+ f(1) ≤10,
故5≤f(－2)≤10,
另法：以上解题过程简化如下：
由 得
∴f(－2)=4a－2b=3 f(－1)+ f(1)
点评:严格依据不等式的基本性质和运算法则,是正确解答此类题目的保证 若先将参数a,b的范围求出,而后再求f(－2)的范围,这样操作是错误的,因为解题过程没有忠实题目所给条件,即变形不等价,由所求的参数a,b的范围并不能得到已知条件所给的f(－1)及f(1)的范围,这样,已经改变了题目的条件,当然,所求的结果就不是实际的结果 因此,在解题的过程中,务必尽可能保持变形的等价性,以免发生错误
例5已知a>b>c，a+b+c=0 方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1，x2
（1）证明：－ ；
（2）若x12+x1x2+x22=1，求x12－x1x2+x22
（3）求
解：（1） a>b>c，a+b+c=0,
∴ ,
∴a>0，1>
∴
(2)(方法1) a+b+c=0
∴ax2+bx+c=0有一根为1，
不妨设x1=1,则由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0，
而x2=x1x2= <0(3c∴x12－x1x2+x22=3
(方法2) x1+x2=－ ，x1x2=
由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2－ x1x2= =1，
∴
∴x12－x1x2+x22= x12+x1x2+x22－2x1x2=1－2x1x2=1+
（3）由（2）知，
=

∴－
∴
小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：
1 不等式的传递性：若a>b,b>c, 则a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c
2 同向不等式可相加但不能相减，即由a>b,c>d，可以得出a+c>b+d,
但不能得a?c>b?d
3 不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到同向的不等式，否则不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正
总之，不等式的概念和性质是本章内容的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，必须透彻理解，特别要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于零 处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考虑所乘的代数式的正负
作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意
学生练习
1．已知aA < B ab<1 C >1 D a2>b2
答案: D
2．已知命题甲：acc，b>d，则甲是乙的（ ）
A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件
答案: D
3．若a+cA －b答案: C
4．设a= , b= － , c= － ，则a, b, c的大小顺序是（ ）
A c答案: B
5 若0A > B > C a＋ >b＋ D a>ab
答案：B
提示：∵00
6．若b<0A ac>bd B > C a＋c>b＋d D a－c>b－d
答案: C
7．已知1A MN D M与N大小不确定
答案: C
提示: M－N＝－x2＋4x－3=－(x－2)2－1, x∈(1, 3), M－N>0
8．已知ab≠0，则 >1是 <1的（ ）条件
A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件D 非充分非必要条件
答案: A
提示:∵ab≠0， >1 ,若a>0, b>0,则b>a>0,
∴ <1; 若a<0, b<0,则b9．若a, b, c都是正数，且aA < <1 B ≥ C ≤ ≤1 D 1< <
答案: A
10 下列函数中，其最小值为2的函数是（ ）
A y=x＋ B y=sinθ＋secθ(0<θ< )
C y= D y=sinθ＋cscθ(0<θ<π)
答案：D
11．设a, b为实数，且a＋b=3，则2a＋2b的最小值是（ ）
A 6 B 4 C 2 D 2
答案: B
提示: ∵a＋b=3, ∴2a＋2b≥2 =4
12．已知k为实数, 方程x2＋(k＋3 )x＋4＋k =0有实根的充要条件是
A k≥4 B －3 ≤k≤3 C k=±3 D k≠0
答案: C
提示: ∵方程x2＋(k＋3 )x＋4＋k =0有实根，∴x2＋kx＋4＝0,且3x＋k=0, x=－ , 代入到x2＋kx＋4＝0中解得k=±3
13．若实数x, y满足x2＋y2－2x＋4y=0，则x－2y的最大值是（ ）
A B 10 C 9 D 5＋2
答案: B
提示: 方程x2＋y2－2x＋4y=0化为(x－1)2＋(y＋2)2=5, (x, y)为圆上一点，设x=1＋ sinα,y=－2＋ cosα, 则x－2y=5＋5sin(α＋φ), ∴最大值为10
14．若0A B b C 2ab D a2＋b2
答案: B
提示: b>a, b> , 2a<1, 2ab15．若f (x)=lgx，且当af C >f B ，则下列各式中（ ）成立
A (a－1)(c－1)>0 B ac=1 C ac>1 D ac<1
答案: D
提示: 用图象分析, a<1, b<1, c>1,又f A >f C ， >c, ∴ac<1
16．不等式 ＋ >2成立的充要条件是
答案: ab>0且a
17．若a>0, b>0, a＋b=1，比较大小： 2
答案: ≤
18．已知lgx＋lgy=2，则 ＋ 的最小值是
答案:
提示: xy=100, ＋ ≥2 =
19．当x≠0时, 的最大值是
答案:
20．若直角三角形的周长为2，则它的最大面积是
答案: 3－2
提示: 设斜边为 c, a=csinα, b=ccosα, a＋b＋c=2, c(1＋sinα＋cosα)=2, c[1＋ sin(α＋ )]=2, c≤ =2( －1), S△= c2sin2α≤ c2=3－2
21．若2x2＋3y2=64，则x2＋y2的最大值是
答案: 32
提示: x2＋y2= , x2≤32, ∴x2＋y2≤32
22．若不等式 <1对于x取一切实数都成立，则k值的范围 是
答案: 10, 对于x取一切实数都成立, ∴ <0,解得k2－4k＋3<0, ∴123．要使不等式kx2－kx＋1>0对于x的任意值都成立，则k值为
答案: 0≤k<4
提示: 当k=0时, 不等式成立，当k≠0时, 要求k>0且 <0,解得024．a, b, c为正数, (a＋b＋c)( ＋ ＋ )的最小值为
答案: 9
提示: (a＋b＋c)( ＋ ＋ )=3＋ ≥9
25．若8x2＋ ＋ =6，且xy>0，则x= , y=
答案: x=± , y=±1
提示: ∵ xy>0, ∴8x2＋ ＋ ≥3 =6,当8x2= = 时,等号成立，∴x=± , y=±1
26．设－1A 8 <8x<0 8x B 8x<0 8x<8 C 0 8x<8 <8x D 8x<8 <0 8x
答案：B
27．若x>y>1，且0a ; ③ log xloga ( )，其中正确的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
答案：D
28 下列命题：① a≥b a－b≥0; ② 3≥5是矛盾不等式; ③ x2－2x＋2>0是条件不等式; ④ a＋1>1是绝对不等式 其中真命题的个数为（ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
答案：C 提示：①、②是真命题
29 设数轴（方向由左向右）上的点M、N分别对应于坐标xM、xN,且xMA M在N右边 B 当M在原点左边时，N不可能也在原点左边
C M在原点左边，N在原点右边 D M在N左边
答案：D
30 下列判断：① a1>b, a2>b则a1>a2; ② 若ac>bc, 则c>0;
③ 由lg >lg , 2>1,有2lg >lg ; ④ a>b,则 < ,其中不能成立的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
答案：D
31 若a3<－6,下列关系式中正确的是（ ）
A a4>－6a B a2<－6/a C a3－1<－8 D a>
答案：A
32 下列命题：①不等式两边减去同一个数或式子，不等号方向不变；②两个不等式两边分别相加得到与被加式同向的不等式；③不等式两边改变符合时，不等号反向；④两个同向不等式的对应边相乘，方向不变；⑤两个异向不等式的对应边相除新不等式与被除式同向 其中正确命题的个数是（ ）
A 3个 B 4个 C 2个 D 5个
答案：C 提示：①, ③正确
33 设a>b>0, 0A a?lg(sinx)> b?lg(sinx) B a?lg(sinx)< b?lg(sinx)
C a?lg(sinx)≥ b?lg(sinx) D a?lg(sinx)≤ b?lg(sinx)
答案：D 提示：lg(sinx)≤0, ∴a?lg(sinx)≤ b?lg(sinx)
34 若a－b>a, a＋bA a>0, b>0 B a>0, b<0 C a<0, b<0 D a<0, b>0
答案：C
35 下列推导中，不正确的是（ ）
A c－ab B < , c>0 a>b
C a>b>0, c>d>0 D a答案：B
36 若a、b、c、d 四个数满足条件：①d>c; ② a＋b=c＋d; ③ a＋dA b>c>d>a B a>d>c>b C d>b>a>c D b>d>c>a
答案：D
37 下列命题中正确的是（ ）
A 由不等式M可以导出不等式N，则M是N成立的必要条件
B M≥N是M>N成立的充分条件
C 不等式M与不等式N两者等价，则M是N的充要条件
D 不等式M不成立时，不等式N也不成立，则M是N的充分条件
答案：C
38 若a,b∈R, c∈Q, 则使ac >bc成立的充分条件是（ ）
A a>b>0, c<0 B a>b, a>0, c>0 C b>a>0, c<0 D b>a>0, c>0
答案：C
39 下列不等式在a、b>0时一定成立的是（ ）
A ≤ ≤ ≤
B ≤ ≤ ≤
C ≤ ≤ ≤
D ≤ ≤ ≤
答案：A
40 a>0, a≠1，P＝log a(a3+1), Q=log a(a2+1), 则P、Q的大小关系是（ ）
A P>Q B P答案：A
41 在下列结论中错用重要不等式作依据的是（ ）
A x、y、z∈R+ ,则 ≥ 3 B ≥2
C lgx＋log x10≥2 D a∈R+, (1＋a)(1＋ )≥4
答案：C 提示：C 中要求x>1, 当042 设a、b、m都是正数，且aA < <1 B ≥ C ≤ ≤1 D 1< <
答案：B 提示： － ＝ <0, ∴ ≥ 恒不成立
43 下列说法正确的是（ ）
A n个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
B 三个数的立方和不小于这三个数的积的三倍
C 一个数与其倒数之和不小于2
D 几个非负数之和也一定非负
答案：D
44 若a>0>b, 则 (填“>”,“<”或“=”)
答案：>
45 若a>0,b<0,a＋b>0,则a、b、－a、－b的大小关系是
答案：a>－b>b>－a
46 介于两个连续自然数之间，这两个数是
答案：3, 4 提示： =lg(24×32×7)=lg1008,
∴3< <4
47 若不等式A与不等式B等价，则A是B的 条件；若由不等式A可以导出不等式B，则A是B的 条件
答案：充要条件；充分条件
48 当条件 满足时， 成立
答案：ab>0, a>b或a<0,b>0
49 在用分析法证明不等式过程中，前面的不等式是后面不等式的 条件；后面不等式是前面不等式的 条件
答案：必要条件；充分条件
50 使不等式a2>b2, >1, lg(a－b)>0, 2 a>2b－1都成立的a与b的关系式是
答案：a>b＋1且b>0

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