双曲线第一定义在解题中的应用

双曲线的第一定义是圆锥曲线部分的重要概念，在解题中有着重要的应用，本文将双曲线的第一定义在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.
一、利用双曲线第一定义求轨迹方程
例1已知 中，C（-2，0），B（2，0）， ，求顶点A的轨迹方程.
分析:用正弦定理将 化为 ，由双曲线的第一定义知顶点A的轨迹是以C、B为焦点，长轴长为2的双曲线的右支.
解析：由正弦定理及 得，∴
由双曲线的第一定义知顶点A的轨迹是以C、B为焦点，长轴长为2的双曲线的右支
∴ ， ，∴ =3
∴顶点A的轨迹方程为 （ ）.
点评：本题考查了双曲线的第一定义、正弦定理及双曲线的标准方程，利用定义求轨迹是求轨迹问题的一种重要方法.
二、利用双曲线第一定义解决焦点三角形问题
例2 已知 ， 是双曲线的两个焦点，过 与椭圆实轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ 是正三角形，求双曲线的离心率.
分析：本题关键在于寻找 、 间关系，结合图形，容易找到此关系.
解析：由△ 是正三角形，得 是 为 的直角三角形，设 = ，则 ，则 = ，由双曲线第一定义知， = ，又 = = = = .
点评:本题考查了双曲线的第一定义与椭圆性质，对焦点三角形问题，常用到第一定义.
例3 已知双曲线 ( )的焦点分别为 ， ，P是双曲线上异于顶点的任意一点， = ( )，求 的面积.
分析：已知 = ，关键是求 的值，联系 = ，使我们想到余弦定理，配方后用双曲线第一定义即可求得.
解析：设双曲线的焦距为 ，有双曲线的第一定义知， = ，
在 中，由余弦定理得， = = ，
∴ = =
∴ = = = .
点评：解决双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题时，要充分利用正弦定理、余弦定理、双曲的第一定义，关键是配凑出 的形式，注意点P在双曲线的哪一支上.
三、利用第一定义计算双曲线上一点到两焦点的距离问题
例4已知 ， 分别是双曲线 的左右焦点，过 的直线与双曲线左支交于 ， ，弦AB=4，求 的周长.
分析：本题涉及双曲线上一点到两焦点的距离问题，利用双曲线的第一定义求解.
解析:因为 ， 在双曲线上，所以 =8， =8，
∴ =16，而 ，
∴ ，∴ ，即 的周长为24.

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