方程的根与函数的零点

M
数学必修1：方程的根与函数的零点
目标：
知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．
过程与方法零点存在性的判定．
情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
重点：
重点零点的概念及存在性的判定．
难点零点的确定．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节教学内容设置师生双边互动
创
设
情
境先来观察 几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函 数的图象：
○1方程 与函数
○2方程 与函数
○3方程 与函数
师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．
生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
组

织
探
究函数零点的概念：
对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点．
函数零点的意义：
函数 的零点就是方程 实数 根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标．
即：
方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

函数零点的求法：
求函数 的零点：
○1（代数法）求方程 的实数根；
○2（几何 法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：
○1　代数法；
○2　几何法．
二次函数的零点：
二次函数
　　　　　 ．
１）△＞０，方程 有两不等师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．
环节教学内容设置师生双边互动
组
织
探
究实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数 无零点．
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
零点存在性的探 索：
（Ⅰ）观察二次函数 的图象：
○1在区间 上有零点______；
_______， _______,
? _____0（＜或＞）．
○2在区间 上有零点______；
? ____0（＜或＞）．
（Ⅱ）观察下面函数 的图象

○1在区间 上______(有/无)零点；
? _____0（＜或＞）．
○2在区间 上______(有/无)零点；
? _____0（＜或＞）．
○3在区间 上 ______(有/无)零点；
? _____0（＜或＞）．
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？
怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．
师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．
生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．
师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．
环节教学内容设置师生互动设计
例
题
研
究例1．求函数 的零点个数．
问题：
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
例2．求函数 ，并 画出它的大致图象．师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．
尝
试
练
习1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．
探
究
与
发
现1．已知 ，请探究方程 的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过 1）．
2．设函数 ．
（1）利用计算机探求 和 时函数 的零点个数；
（2）当 时，函数 的零点是怎样分布的？

环节 教学内容设置师生互动设计
作
业
回
馈1．教材P108习题3．1（A组）第1、2题；
2．求下列函数的零点：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
3．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的 简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：
（1） ；
（2） ．
4．已知 ：
（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求 的值．
5．求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ；
（3）
课
外
活
动研究 ， ，
， 的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达．考虑列表，建议画出图象帮助分析．
收
获
与
体
会说 说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．


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