2013年4月高三数学文科一模试题（西城区有答案）

2013.4
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集 ，集合 ， ，那么
2．复数
3．执行如图所示的程序框图．若输出 ，则输入
4．设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，且 ．若 ，则 的取值范围是
5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）
视图是边长为 的正方形，该正三棱柱的表
面积是
6．设实数 ， 满足条件 则 的最大值是
7．已知函数 ，则“ ”是“ ，使 ”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
8．如图，正方体 中， 是棱 的
中点，动点 在底面 内，且 ，则
点 运动形成的图形是
（A）线段（B）圆弧
（C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知向量 ， ．若向量 与 垂直，则实数 ______．
10．已知函数 则 ______．
11．抛物线 的准线方程是______；该抛物线的焦点为 ，点 在此抛物线上，且 ，则 ______．
12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件
的长度数据 (单位： )全部介于 至 之间．
将长度数据以 为组距分成以下 组： ，
， ， ， ，
，得到如图所示的频率分布直方图．若长
度在 内的元件为合格品，根据频率分布直
方图，估计这批产品的合格率是_____．
13．在△ 中，内角 ， ， 的对边边长分别为 ， ， ，且 ．若 ，则△ 的面积是______．
14．已知数列 的各项均为正整数，其前 项和为 ．若 且 ，
则 ______； ______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数 的一个零点是 ．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）设 ，求 的单调递增区间．
16．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，面 为正方形，面 为等腰梯形， // ， ， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求四面体 的体积；
（Ⅲ）线段 上是否存在点 ，使 //平面 ？
证明你的结论．
17．（本小题满分13分）
某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过 小时收费 元，
超过 小时的部分每小时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过 小时．
（Ⅰ）若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为 ，停车付费多于 元的概率为 ，求甲
停车付费恰为 元的概率；
（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为 元的概率．
18．（本小题满分13分）
已知函数 ， ，其中 ．
（Ⅰ）求 的极值；
（Ⅱ）若存在区间 ，使 和 在区间 上具有相同的单调性，求 的取值范围．
19．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点，线段 的中点为 ， 的中垂线与 轴和 轴分别交于 两点．
（Ⅰ）若点 的横坐标为 ，求直线 的斜率；
（Ⅱ）记△ 的面积为 ，△ （ 为原点）的面
积为 ．试问：是否存在直线 ，使得 ？说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知集合 ．
对于 ， ，定义 ；
； 与 之间的距离为 ．
（Ⅰ）当 时，设 ， ，求 ；
（Ⅱ）证明：若 ，且 ，使 ，则 ；
（Ⅲ）记 ．若 ， ，且 ，求 的最大值．
北京市西城区2013年高三一模试卷
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2013.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．C； 7．A； 8．B．
二、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9． ； 10． ； 11． ， ；
12． ； 13． ； 14． ， ．
注：11、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，得 ， ………………1分
即 ， ………………3分
解得 ． ………………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ． ………………6分
………………8分
． ………………10分
由 ，
得 ， ． ………………12分
所以 的单调递增区间为 ， ． ………………13分
16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在△ 中，
因为 ， ， ，
所以 ． ………………2分
又因为 ，
所以 平面 ． ………………4分
（Ⅱ）解：因为 平面 ，所以 ．
因为 ，所以 平面 ． ………………6分
在等腰梯形 中可得 ，所以 ．
所以△ 的面积为 ． ………………7分
所以四面体 的体积为： ． ………………9分
（Ⅲ）解：线段 上存在点 ，且 为 中点时，有 // 平面 ，证明如下：
………………10分
连结 ，与 交于点 ，连接 ．
因为 为正方形，所以 为 中点． ………………11分
所以 // ． ………………12分
因为 平面 ， 平面 ， ………………13分
所以 //平面 ．
所以线段 上存在点 ，使得 //平面 成立． ………………14分
17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为 元”为事件 ， ………………1分
则 ．
所以甲临时停车付费恰为 元的概率是 ． ………………4分
（Ⅱ）解：设甲停车付费 元，乙停车付费 元，其中 ． ………………6分
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：
，共 种情形． ………………10分
其中， 这 种情形符合题意． ………………12分
故“甲、乙二人停车付费之和为 元”的概率为 ． ………………13分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解： 的定义域为 ， 且 ． ………………2分
① 当 时， ，故 在 上单调递增．
从而 没有极大值，也没有极小值． ………………4分
② 当 时，令 ，得 ．
和 的情况如下：
??
故 的单调减区间为 ；单调增区间为 ．
从而 的极小值为 ；没有极大值． ………………6分
（Ⅱ）解： 的定义域为 ，且 ． ………………8分
③ 当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减，不合题意．
………………9分
④ 当 时， ， 在 上单调递减．
当 时， ，此时 在 上单调递增，由于 在 上单调递减，不合题意． ………………11分
当 时， ，此时 在 上单调递减，由于 在 上单调递减，符合题意．
综上， 的取值范围是 ． ………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，直线 的斜率存在，设其方程为 ． ………………1分
将其代入 ，整理得 ． ………………3分
设 ， ，所以 ． ………………4分
故点 的横坐标为 ．
依题意，得 ， ………………6分
解得 ． ………………7分
（Ⅱ）解：假设存在直线 ，使得 ，显然直线 不能与 轴垂直．
由（Ⅰ）可得 ． ………………8分
因为 ，
所以 ，
解得 ， 即 ． ………………10分
因为 △ ∽△ ，
所以 ． ………………11分
所以 ， ………………12分
整理得 ． ………………13分
因为此方程无解，
所以不存在直线 ，使得 ． ………………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：当 时，由 ，
得 ，
所以 ． ………………3分
（Ⅱ）证明：设 ， ， ．
因为 ，使 ，
所以 ，使得 ，
所以 ，使得 ，其中 ．
所以 与 同为非负数或同为负数． ………………6分
所以
． ………………8分
（Ⅲ）解法一： ．
设 中有 项为非负数， 项为负数．不妨设 时 ； 时， ．
所以
因为 ，
所以 ， 整理得 ．
所以 ．……………10分
因为
；
又 ，
所以
．
即 ． ……………12分
对于 ， ，有 ， ，且 ， ．
综上， 的最大值为 ． ……………13分
解法二：首先证明如下引理：设 ，则有 ．
证明：因为 ， ，
所以 ，
即 ．
所以
． ……………11分
上式等号成立的条件为 ，或 ，所以 ． ……………12分
对于 ， ，有 ， ，且 ， ．


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