逍遥右脑 2018-08-16 15:21
望江四中届高三上学期第一次月考
数学（文）
本试卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分。答题时120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷（选择题共10小题，每小题5分，共50分）
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）
1.若集合 , ,则 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：集合A＝{ }，A＝{ }，所以，
2．设 是虚数单位，则“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】若复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数，则 ，所以“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的充要条件。
3．已知 为等差数列，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因为 为等差数列，若 ，所以， ，
4. 下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】A、D既不是奇函数，也不是偶函数，排除，B只是在区间上递增，只以C符合。
5. 已知函数 有且仅有两个不同的零点 ， ，则（ ）
A．当 时， ， B．当 时， ，
C．当 时， ， D．当 时， ，
答案：B
解析：函数求导，得： ，得两个极值点：
因为函数f（x）过定点（0，－2），有且仅有两个不同的零点，所以，可画出函数图象如下图：
因此，可知， ，只有B符合。
6. 函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C．2π D．4π
答案：B
【解析】函数 ,所以周期为 .
7.函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】 ＜0， ＞0，所以，在 上有零点。
8．设集合 是 的子集，如果点 满足： ，称 为集合 的聚点.则下列集合中以 为聚点的有： ； ② ； ③ ； ④ （ ）
A．①④B．②③C．①②D．①②④
答案：A
【解析】①中，集合 中的元素是极限为1的数列，
∴在 的时候，存在满足0＜x－1＜a的x，
∴1是集合 的聚点
②集合 中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即｜x－1｜≥1
对于某个a＞1，不存在0＜x－1 ，∴1不是集合 的聚点
③对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有x?1=0或者x?1≥1，也就是说不可能0＜x?1＜0.5，从而1不是整数集Z的聚点
④ ＞0，存在0＜x－1＜0.5的数x，从而1是整数集Z的聚点
故选A
9. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ）
A．12种 B．15种 C．17种 D．19种
答案：D
解析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有 取法；第二类，有两次取到3号球，共有 取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法。
10．已知函数 ,定义函数 给出下列命题:
① ; ②函数 是奇函数;③当 时,若 , ,总有 成立,其中所有正确命题的序号是（ ）
A．②B．①②C．③D．②③
答案：D
解析：① ，所以，错误；②当x＞0时，－x＜0，F（－x）＝－f（－x）＝－（ ）＝－f（x）＝F（x），为奇函数，同理可证当x＜0时也是奇函数，正确；
③因为n＜0，不妨设＞0，n＜0，又＋n＞0，所以，｜｜＞｜n｜，
＝ －（ ）＝ ，因为 ，所以，有 ＜0，正确。
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11．函数 的定义域为 。
答案：（1,2］
解析：由 ，解得：
12.数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 ．
答案：1006
解析：
所以 ，于是 。
13.连掷两次骰子得到的点数分别为 和 ,若记向量 与向量 的夹角为 ,则 为锐角的概率是 .
答案：
解析： 连掷两次骰子得到的点数记为 ，其结果有36种情况，若向量 与向量 的夹角 为锐角，则 ，满足这个条件的有6种情况，所以 为锐角的概率是 。
14．函数 在 上恒为正，则实数 的取值范围是 ．
答案：
解析：当 时，函数 在 上为减函数， 不合题意；当 时，由题意得 在 上恒成立，即 在 上恒成立。函数 在 上是增函数，它的最小值为 ，要使 在 上恒成立，只需 。综上，实数 的取值范围是
15. 定义在 上的函数 ，如果对于任意给定的等比数列 ， 仍是等比数列，则称 为“等比函数”。现有定义在 上的如下函数：① ；② ；③ ；④ ，则其中是“等比函数”的 的序号为 ．
答案：③④
【解析】若① ，则 ，所以不是常数，所以①不是“等比函数”。②若 ， ，所以不是常数，所以②不是“等比函数”。③若 ， ，所以是常数，所以③是“等比函数”。④若 ，则 ， ，所以是常数，所以④是“等比函数”。所以是“等比函数”的 的序号为③④.
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程）
16．（本小题共12分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 .
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ .
(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 ；
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
17．（本小题共12分）已知函数 。
（1）当 时，求该函数的值域；
（2）若 对于 恒成立，求 有取值范围。
18．（本小题共12分）如图,四棱锥 的底面 是正方形,棱 底面 , , 是 的中点．
(1)证明 平面 ；
(2)证明平面 平面 .
19．（本小题共12分）
已知函数
(1)若 求 在 处的切线方程;
(2)若 在区间 上恰有两个零点,求 的取值范围.
20．（本小题13分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 轴上，且过点 .
（1）求抛物线的标准方程；
（2）与圆 相切的直线 交抛物线于不同的两点 若抛物线上一点 满足 ，求 的取值范围.
21．（本小题14分）已知函数 ( ).
(1)当 时,求函数 的单调区间;
(2)当 时, 取得极值，求函数 在 上的最小值;
解答题参考答案
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程）
16．解:(1)选择②式计算
.
(2)猜想的三角恒等式为
.
证明：
.
17．解: （1）令 时，
（2） 即 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
易知函数 在 上的最小值为0.
故
18．证明:(1)连结 ,设 与 交于 点,连结 .
∵底面ABCD是正方形,∴ 为 的中点,又 为 的中点,
∴ , ∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .
(2)∵ , 是 的中点, ∴ .
∵ 底面 ,∴ .又由于 , ,故 底面 ,
所以有 .又由题意得 ,故 .
于是,由 , , 可得 底面 .
故可得平面 平面 .
19．解: (1)
在 处的切线方程为
(2)由
由 及定义域为 ,令
①若 在 上, , 在 上单调递增,
因此, 在区间 的最小值为 .
②若 在 上, , 单调递减;在 上, , 单调递增,因此 在区间 上的最小值为
③若 在 上, , 在 上单调递减,
因此, 在区间 上的最小值为 .
综上,当 时, ;当 时, ;
当 时,
可知当 或 时, 在 上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.
当 时,要使 在区间 上恰有两个零点,则
∴ 即 ,此时, .
所以, 的取值范围为
20．解: (1) 设抛物线方程为 ，
由已知得： 所以
所以抛物线的标准方程为
(2) 因为直线与圆相切，
所以
把直线方程代入抛物线方程并整理得：
由
得 或
设 ，
则
由
得
因为点 在抛物线 上，
所以，
因为 或 ，
所以 或
所以 的取值范围为
21．解： (1)
当 时,
解 得 或 , 解 得
所以 单调增区间为 和 ,单调减区间为
(2)当 时, 取得极值, 所以
解得 (经检验 符合题意)
+0-0+
?
??
所以函数 在 , 递增,在 递减
当 时, 在 单调递减,
当 时
在 单调递减,在 单调递增,
当 时, 在 单调递增,
综上, 在 上的最小值