指数概念的扩充

指数概念的扩充

一、目标
1．经历由幂指数由整数逐步扩充到实数的过程，理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义．
2．掌握幂的运算性质．
3．理解随着指数概念的扩充，同时指数函数的概念也由正整数指数函数逐渐扩充到实数指数函数．
4．使学生感受数学推理的合理与严谨，体会充满在整个数学中的组织化，系统化的精神．
二、设计思路

以前的数学学习中，已经经历过“数”的扩充过程．由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系．本章也是按照这个思路来实现指数概念的扩充，依据两个原则：①数学发展需要；②基本运算能无限制地进行．把“指数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化，系统化的精神．
2.1 整数指数幂
1．2.1节首先回忆初中学习的整数指数幂的概念和正整数指数幂的运算性质，进而讨论这些运算性质能否推广到整数指数幂，为学习指数概念的扩充作准备．2．运算性质的扩充是通过实例说明，不要求证明，降低难度，符合高一学生的思维水平．3．当指数运算性质推广到整数指数幂时，正整数指数幂的运算性质：

不过，这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定.当指数的范围扩大到有理数集Q以至实数集R后．幂的运算性质仍然是上述三条，当然这3条性质也要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定．
4．本教材强调了整数指数幂满足不等性质，这些性质即常用又容易理解．
2.2 分数指数幂
1．指数概念的扩充，依据两个原则：①数学发展需要；②基本运算能无限制地进行．
2．强调指数概念的扩充是由于需要．
3．整个§2，知识的发生发展都是先讲指数概念的扩充．指数概念的推广和指数函数定义域的扩充平行，随着指数概念的扩充，同时指数函数的概念也由正整数指数函数逐渐扩充．然后运算性质的扩充．
4．本书绕开了根式，讲解分数指数幂的概念．分三步，首先说清楚正分数指数幂的意义，再说 的意义，最后规定负分数指数幂的意义．通过实例，在幂的运算 bn＝am，解决求b的问题中，导出分数指数幂的概念．导出过程中强调了b的存在与唯一．使学生感受数学推理的合理与严谨．5．例5、6、7为学生理解分数指数幂的概念而设计．
6．分数指数幂与根式只是形式不同，为了方便学生阅读参考书，教材中给出“有时我们把正分数指数幂写成根式形式”，并在习题中让学生适当地练习．
7．有理指数幂运算性质，是提出问题：“整数指数幂扩充到有理数指数幂，整数指数幂的运算性质也适用于有理数指数幂吗？”后直接给出，没有证明过程．这是因为教材要面对全体学生，有兴趣的同学可以在教师指导下证明这些结论．
2.3 实数指数幂
1．由于学生必须学习极限的概念后，才能真正地理解实数指数幂的概念，因而本节安排《阅读理解》，帮助学生了解了解实数指数幂的意义．
2．首先“用有理数逼近无理数”的思想，理解 的一系列不足近似值，和一系列过剩近似值，越来越逼近 的精确值．进而认识 的近似值精确度越高，以其不足近似值和过剩近似值为指数的幂10α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为 ．
3．让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程，认识实数指数幂的概念．
4．把实数指数幂作为一小节，目的是让学生感受“用有理数逼近无理数”，了解由“有限”认识“无限”的数学大思想．
5．当指数扩充到实数，运算性质和指数函数的概念也随之扩充到实数集上．

四、建议
2.1 整数指数幂
1．可以采用多种方式复习整数指数幂的概念和正整数指数幂的运算性质．
2．通过问题“负整数指数幂还保留以上运算性质吗？”组织学生演算例1，从中抽象一般结论：正整数指数幂的运算性质可以推广到整数．
3．讨论例2，让学生得出指数幂的运算性质的五条可以合并为三条．
4．分清哪些概念是规定的(如a0＝1，00无意义)，哪些是通过演绎推理得出的．
2.2 分数指数幂
1．让学生理解指数概念的扩充是由于数学发展和实际应用的需要．
2．正分数指数幂是由问题“正整数指数幂的运算bn ＝a中，常常是已知正实数b和正整数n，求a．反过来已知a和n怎样求b？”引入．强调存在与唯一，即“给定正实数a，对于任意给定的正整数n，存在惟一的正实数b，使得bn ＝a．这样，我们把这个存在惟一的正实数b记作：b＝ ”．学生理解这点后，进一步讲解“给定正实数a，对于任意给定的正整数n ，m，存在惟一的正实数b，使得bn ＝ am，我们规定b叫做a的 次幂，记作：b＝ ．它就是正分数指数幂”．让学生体会数学概念扩充的理性思考．
3．把握难度，指数概念的扩充过程要求较高，运算性质的推广中的推理不作要求．
4．对于运算结果，一般地用分数指数幂的形式表示．如有特殊要求，根据要求给出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2.3 实数指数幂
1．在学习实数指数幂的概念时，一定让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程．
2． 是学生熟悉的数，这里是“用有理数逼近无理数”的思想重新认识它，让学生读出它的一系列不足近似值和过剩近似值，体会越来越逼近 的精确值的过程，为认识 作准备．
3．让学生算 的一系列不足近似值和过剩近似值，并分析比较，体会越来越逼近 的精确值的过程．从而对实数指数幂有感性认识．
4．指数函数概念的扩充可以由学生讨论完成．
5．实数指数幂的运算性质直接给出，并告诉学生：与有理指数幂的运算性质不同在于，要证明它，我们目前的知识不够．

五、课程资料参考
一．怎样证明正分数指数幂的运算性质?

二．指数发展简史
1637年，法国数学家笛卡儿(Descartes，1596??1650年)开始用符号an表示正整数幂，在他的《几何学》一书中，用a3代表a?a?a，用a4代表a?a?a?a．分数指数幂在十七世纪初也开始出观，最早使用分数指数记号的是荷兰工程师司蒂文(Stevin)．十七世纪末，华里斯开始使用an表示分数指数及负数指数幂．十八世纪初，英国数学家牛顿(Newton，1642?1727年)开始使用an表示任意实数指数幂．这样，指数概念就由正整数指数逐步推广到实数指数．

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